EXPRESSION D'US POLYSO^I I 1. TC

Calcul <U- \\. —On a

dx donc

r, étant une constante d'intéerratlon. Cette constante se détermine par la propriété (S**) en écrivant que la valeur moyenne de P, entre — // et -f- // est nulle :

/ P,^.r = 0, / (r — cj djc = 0.

Effectuant l'intégration, on trouve que l'intégrale se réduit à

cji.

Donc fj^zzO, et le premier polynôme est :

Calcul de P„. — On a

dx — '< — •''^

lonc

A 8 cy <^2

c, étant une constante d'intégration que l'on détermine en écri vaut que

on a ainsi

et le deuxième polynôme P, est

2i8 COUns D'AyALYSE

Calcul de P,. — On a

dx ~~ * 2 «

On détermine c* en écrivant

ce qui donne d'où

iy.r=0,

et ainsi de suite.

Convenons de désigner par

la valeur moyenne de la fonction tp (.r) dans l'intervalle de — /ta + /<:

moy © (.i)

</ar.

Nous pourrons résumer les propriétés des polynômes Pn(j') dans le tableau suivant :

I>, = 1, |moyPJ = i,

4f =•*»-.' ~ I moy P„ 1=0, «-1.

127. Expression d'un polynôme en fonction des valeurs moyennes de ce polynôme et de ses dérivées dans Vintervalle de - h à + h.

Soit f[x) un polynôme en x de degré p. Nous voulons déterminer ce polynôme connaissant les valeurs moyennes de ce polynôme f(x) et de ses dérivées fj^x)y f"(x)y ... ;/*<"! (.r) dans Tintervalle de — /i ii -{-h y c*est-îi-dire connaissant

I '«oyfix) I , I moy/V) I , I moyf^^ (.r) |

j:Ari{i:ssioy DIX i'odwomi:. i.k. 219

lù'rivons le polyiiùine iiuoiniii / ./ sous la lorme (1) f[x) = a„I>„+ a,l>, + «,P, + + a,\\,

OÙ Po, P,, ,P^, sont les polynômes que nous venons de définir,

(i,^, a^,...,a,, des constantes. l*our déterminer ces constantes, prenons d'abord la valeur moyenne des deux memhi «s <lt* f[x) dans l'intervalle de — 1i{\ -\- h. Comme la valeur moyenne d'une somme est la somme des valeurs moyennes de ses parties et que

I moy P, I = 0, (1rs (juc // > 1, on a

I moy/*(j7) I =a^, I moyP, | = a^,

car

|moyI>J=l.

On a ainsi la valeur de Reprenons ensuite les dérivées des deux membres de la formule

(1) en nous rappelant que P„= 1, — 7-^ = P„i pour /« > 1. Nous aurons

Prenant les valeurs moyennes des deux membres, on trouve, comme plus haut,

Dérivant de nouveau les deux membres par rapport à x,

f" W = «.!', + "al', + + «,.P,.-. ;

puis, prenant les valeurs moyennes, on a I "^oyf"[x) I =a..

Et ainsi de suite jusqu'à

On a donc les valeurs des coefficients «o, «,, ••,«;, et on peut

aao COURS D'A S A LY SE

écrire le polyn<\me cherché sous la forme suivante où on a remplacé Pp par sa valeur 1 :

(3) f[x) = I moy/-(.r) | + | moyf'(x) \ P.+ | raoyf"[x) | P.

+....+ lmoy/^'(x)|P,.

Telle est la formule demandée. Il serait aisé de vérifier que, quand h tend vers zéro, elle se réduit à la formule de Mac-Laurin pour le polynôme fi^r).

128. Extension à une fonction quelconque fU). — On est conduit, par analogie avec la formule de Mac-Laurin, à étendre la formule ci-dessus h une fonction f[x) quelconque admettant des dérivées de tous les ordres entre — h et -f- //. Le deuxième membre devient alors une série, et on parvient au développement

(4) /-(.r) = I moy /^W | -f- 1 moy/^(^) 1 P, + | moyf"{x) \ P,

H- + lmoy/^"^(.2r)|P„4-

Mais cette formule n'est exacte que dans des cas difficiles à reconnaître. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que, si on vendait l'appliquer à la fonction

/; (j)= A, sin-^ -h B, cos -j-,

où V est un entier non nul, A^ et B^ des constantes, on trouverait pour tous les coefficients

In^oyAWl» |moy/;'(.r)|,

Imoy/^r^WI.

la valeur zéro. Le développement n'est donc pas applicable à cette fonction.

11 en serait de même pour la fonction /'(.r) obtenue en ajoutant des fonctions telles que f^ (x), dans lesquelles on donnerait à v une suite quelconque de valeurs entières

Néanmoins cette série (4) peut rendre des services dans la pratique.