I. — L'ÉLÉMENT DIFFÉRENTIEL DEVIENT INFINI

129. L'élément différentiel devient infini à Fune des limites. — Quand on a défini l'intégrale

l^fflx)dx,

on a supposé que la fonction f[a:) restait finie pour toutes les valeurs de X comprises entre a et b ou égales à a ou à h. L'intégrale représente alors l'aire du segment de la courbe

entre les ordonnées d'abscisses a et b.

Supposons que fia:) reste finie pour .r = rt et pour x compris entre a et by mais devienne infinie pour .r = b. Pour fixer les idées, nous admettrons que la limite supérieure b est plus grande que rt, et que f[j:) de{>iennc infinie en conseivant tin signe constant, le signe -|- par exemple. La courbe

'a alors pour asymptote la droite BB' d'abscisse ^, comme le montre la figure 62. Nous supposons que l'ordonnée AA' a pour abscisse a.

Pour voir si l'on peut attribuer un sens à l'intégrale I, on procède comme il suit. Au lieu d'intégrer de a à b, on intègre de a à un nombre plus petit que b mais très voisin de by c'est-à-dire

•jij COURS D'AyALrSE

de «à b — e, e étant un nombre yyos////' très petit. On a alors l'intégrale

qui a un sens parfaitement défini; si M'M est l'ordonnée ayant pour abscisse b — e, cette intégrale mesure l'aire du segment AA'M'M. On fait ensuite tendre t vers * zéro, c'est-à-dire tendre le point M vers

le point B.

Quand £ est très petit, l'ordonnée

UM'= f[b — e)

Kig. in. est très grande, et, quand £ tend vers zéro,

rintégrale J, c'est-h-direl'aire AA'M' M, va évidemment en augmentant. Deux cas peuvent alors se présenter ; 1® Quand £ tend vers zéro, l'intégrale J tend vers une limite : cette limite est, par dèfinitiony ce qu'on appelle valeur de l'intégrale

f[x) dx.

fr

Dans ce cas, l'aire comprise entre l'ordonnée AA', la courbe et l'asymptote BB' est finie.

2" Quand s tend vers zéro, l'intégrale J augmente indéfiniment. On dit alors que l'intégrale

fh)dx,

est infinie. L'aire comprise entre la courbe, l'ordonnée AA' et l'asymptote est infinie.

Exemples. — Soit d'abord voyons si l'intégrale

de

L'ÉLÉMENT DIFFKHENTIEL DEVIiy T INFIM ii'i

est fini*' ou non. Pour cela, calculons d'abord

t positif et très petit. L'intégrale indéfinie étant on a

Quand £ tend vers zéro, J tend vers 2 \ b — a. L'intégrale proposée a donc un sens et on a

Ja Sjb — X

Soit maintenant

fy, '

Nous allons voir que l'intégrale

{b-.vy

est infinie. En effet, calculons d'abord

r^-' dx

Ja {b — xy '

L'intégrale indéfinie étant -^ ;- , on a

expression qui devient infinie quand e tend vers zéro.

r dx

. Cas particulier où V intégrale est de la forme j -j-. -r;^.

Soit n un nombre positif, entier ou fractionnaire, considérons l'intégrale définie

i r if

dont l'élément différentiel devient infini pour x=b. Nous allons montrer que cette intégrale est finie quand n< 1, infinie quand n ^ i.

En effet, supposons d'abord n différent de 1, et calculons l'intégrale

où e est positif et très petit. L'élément différentiel pouvant s'écrire

{b — jc)-»

rintégrale indéfinie est

et l'intégrale définie J==

Si /i<l, 1 — n est positif, £ est élevé à une puissance positive, et, quand e tend vers zéro, J tend vers la limite

{b-^ay-^

L'intégrale proposée est alors égale à cette limite.

Si /i> 1, 1 — ;/ est négatif, c est élevé à une puissance négative, et, quand t tend vers zéro, J augmente indéfiniment. L'inlégrale proposée est alors infinie.

Nous avons réservé le cas de/t=l. On a, alors

<ùr l'intégrale indéfinie est — log(A — x). Quand e tend vers

/. / /. /; M r y r Dirr i: n KyriE i dévie y t / y f lyi i -x "i

zéro, J augnu'iite iiiJétiuimcnt ; l'intégrale proposée est donc infinie pour // = 1.

131. Intégrales comparables aux précédentes. — Soit une intégrale

où f[x) est finie quand .r est égal à a ou compris entre a et b, mais augmente indéfiniment par valeurs positives quaiul r tend vers h.

Considérons le produit

où II est un nombre positif. Quand x tend vers />>, ce produit prend la forme 0 X x . Supposons que l'on puisse déterminer l'exposant n de telle façon que le produit

tende vers une limite l quand x tend vers b. Alors, on peut énoncer la règle suivante : 1** Si, pour une certaine valeur de n moindre que 1, le produit

a une limite /, l'intégrale proposée est finie.

2** Si, pour une certaine valeur de n supérieure ou égale à 1, le produit

{b-xYf[x)

a une limite l dilfèrente de zéro, l'intégrale proposée est infinie.

Premier cas. — Supposons d'abord qu'il existe un nombre n moindre que 1, tel que le produit

i,b-xrf{x)

tende vers une limite /, limite qui peut d'ailleurs être nulle, quand .r tend vers b. Dans ces conditions, il est évident que ce produit est très voisin de / quand x est très voisin de b. Parta- APPELL. Analyse. <5

2i6 coins D'ASALYSE

geons alors riiilervalle (riiitégration //, h] en deux pailios, l'une Je a il c et l'autre de c à /y, c étant plus petit que h, mais très voisin de h.

L'intégrale I s'écrit

1 = f/'r <lv-\- I f .v]dx.

La première intégrale, prise entre les limites a et c osl finie. il reste \\ montrer que l'autre intégrale est aussi finie. En cllct, le produit

tendant vers /, si on appelle M un nombre positif fixe supérieur à cette limite l, il est évident que, .r étant très voisin de />, le produit [h — .r)"/'(.r), qui est très voisin de /, est inférieur à M. On peut donc choisir c assez voisin de h pour que, jc étant compris entre c et h, on ait

(^ — ^)Y(^)<M, Mais on a alors (n® 32)

c ' ici' .« )

Comme M est constant, on peut le faire sortir du signe d'intégration; et on a, dans le deuxième membre, l'intégrale

qui est finie, car n < i. L'intégrale du premier membre ff[x)dx

étant moindre qu'une quantité finie est finie. Donc, dans ce cas, [n < 1) l'intégrale proposée est finie.

Deuxième cas. — Supposons maintenant qu'il existe un nombre n supérieur ou égal à 1, tel que le produit

L'KLÉMEyi un l K IU:.\ l lEL DEVIE. \i IMIM 227

Iciitlr \t I s iiiK limite / (li'/f'érente de zéro, quand j: tend vers Ij. On pouiia ti I il < (OUI me plus haut

l = fr,rd.v+Çfl,,)d.v,

( » hiiil moindu' ([iic //, mais très rapproché de b. La première intégrale estlinie; nous allons montrer que la deuxième est infinie. Soit //?, un nombre positif moindre que /,

Quand r <'st très voisin de h, le produit

rsl hrs Noisiii de / ri. j)ar suite, siqx'iieur il /)i. On peut donc |n»Midir r asst'Z voisin de A j)()iir (juc, dans tout l'intervalle (c, ^;, on ait

Jj — •</'/ -^ > f^h (• t'st-it-dire

On a alors

Or rintègrale du deuxième membre est infinie cay n ^ 1, celle du premier membre est donc également infinie. Dans ce cas, l'intégrale proposée est infinie.

Remarque. — Nous avons supposé, pour fixer les idées, (jue / .r) devient infinie en restant positive, quand .r tend vers h. Les mêmes conclusions s'appliquent au cas où f[.v) devient infinie en restant négative quand x tend vers h. Kn effet, dans cette dernière hypothèse, la courbe

s . loiun,. a rinfini pour x = b au-dessous de Taxe O.r. Il suffirait donc dr clianger le sens de O^ pour être ramené au cas précédent.

aa8 COURS D'AXALySE

132. L*èlèment différentiel devient infini pour la limite inférieure, — Nous «vous supposé que l'élément différentiel /"(j") devient infini quand .r est égal à la limite supérieure b. Les mômes conclusions sul>':>isteraient évidemment si f[x) devenait infmi quand r est égal à la limite inférieure a. Il suffirait, pour ramener ce cas à celui qui a été traité en détail, de changer le sens de l'axe O.r dans le tracé de la courbe 1/ = f^a-).

Pour voir si l'intégrale

£Md:r,

ou

a un sens [h>a), on considérera le produit

pour it = a.

S'il existe un nombre positif /i, plus petit que 1, tel que ce produit ait une limite, l'intégrale est finie.

S'il existe un nombre n égal ou supérieur h 1, tel que ce produit ait une limite différente de 0, l'intégrale est infinie.