COS U

où l'élément différentiel

' "^ ^ cos\r devient infini pour .r = — - . Kcrivons

sin^(^-.) nous voyons que le produit

tend vers 1 quand .r tend vers -^ . Ici l'exposant n est égal à 3;

il est supérieur à 1 et le produit tend vers la limite 1 différente de 0. L'intégrale est infinie.

Pour se rendre compte de ce résultat, on peut dire que, dans le

voisinage de -^Aix fonction = — devient infinie comme -, —.

° 2 ' cos'o- /t. y

et que son intégrale se comporte comme \2 /

du-

qui est infinie pour .r= ~ .

134. L'élément différentiel devient infini entre les limites.

— Soil une intégrale

OÙ rélément différentiel devient infini pour une valeur c comprise entre les limites. Il faudra alors considérer séparément les deux intégrales

dans chacune desquelles l'élément différentiel devient infini pour une limite j' = c. Pour que l'intégrale proposée ait un sens, il faut que chacune de ces intégrales en ait un, et, alors, l'intégrale proposée est, par définition, égale à la somme de ces intégrales:

ï=ff[j:)d.v+ff{^)dj:.

Exemples. — I. Considérons l'intégrale

dans laquelle l'élément différentiel devient infini pour.r=0. Construisons la courbe [fig. 63)

Fig. m.

elle a deux branches infinies asymptotes à Oy. On considérera, séparément, les deux intégrales

/•« d.v /•! djr

Ces deux intégrales ont un sens, car elles sont de la forme

dx

r (ix

L'ELÉM/:yr DIU IHI\ l IKL DEVJEST ISFISI 233

où // a la valriir -^ inoindir (jiic I. I.'iiitf'grale indéfinie est, pour

chacune d'elles,

et rintégrale définie 3. Géométriquement, cela veut dire que Taii r comprise entre la branche de gauche et l'axe Oy est égale à 3; Taire symétrique également. L'intégrale proposée est alors égale à G ; elle donne l'aire totale.