II. Soit l'intégrale

La courbe

a une forme analogue à la précédente (fig. G3). Mais ici les deux intégrales

r" dx pdx

sont infinies toutes les deux, comme on le vérifie immédiatement, et l'intégrale proposée n'a pas de sens. Chacune des deux aires à droite et h gauche de l'asymptote est infinie.

Il serait absurde d'appliquer à une intégrale de ce genre les règles qui ont été établies pour le cas où la fonction h intégrer est finie dans l'intervalle d'intégration. Ainsi, pour cette intégrale

r^' dx

il serait absurde de prendre l'intégrale indéfinie et de

dire que l'intégrale définie est égale à la différence des valeurs

de aux deux limites, c'est-à-dire \\ — 2. Cette règle établie

pour calculer les intégrales définies suppose en effet essentielle^ ment que la fonction à intégrer reste finie entre les limites, ce qui n'a pas lieu ici.

aJ

coins D'ANA/^rSE

135. L'élément différentiel devient infini aux deux limites. — Ce cas se ramène aux précédents.

Soit une intégrale

r/-(.r)rf.r,

on /■ i.r devient infini aux limites a et />, et reste fini entre les limites. Soit c un nombre quelconque compris entre a et b.

On considérera les deux intégrales

Fig. G;.

dans chacune desquelles l'élément différentiel devient infini pour une limite.

Pour que l'intégrale proposée ait un sens, il faut que chacune de ces deux intégrales ait un sens et alors la proposée est, par définition, égale à leur somme.

KxE.MPLE. — Soit a > ^; l'intégrale

n un sens. La courhe

présente deux asympl(»tes d'abscisses a et ^. Si on appelle y un nombre intermédiaire, on considère les deux intégrales

Jr^ dx r^ d.r

Ces deux intégrales ont chacune un sens, car les produits

(.r^a}Vl>), (3--.r)-î/(.r},

tendent vers des limites pour .r =:a et.r= 3.

L'intégrale pr<»posée n donc un sens; elle représente Taire

lyTKC.IlM r^ l)\\s I I s()l i:i I Is l \/. /;/ s IIMIIIs l.sl IMl.Mi: 235

COinpi'isc «Mitre l;i coiiilx', Ii'S deux iis\ iiiplotcs ri I iixc ()./ . Pom* la calculer, il siilli t (r('m|»l(>\ «t 1rs loi imilrs du n" S'» (jui (lomiciil

136. L'élément différentiel devient infini aux limites et pour des valeurs intermédiaires . — Soit l'intégrale

= fLr:d.c,

où/'(.r; devient infini, pour x = Oy jr = b, «t des valoins iiitcrim'' diaires .r= a, .r = p, x = Y- Supposons

On consid^Tora les intéjjrales

(J) ff-v.,!.,; f /■:>:>/■>: f/,r,.h; f^dx.

Pour que l'intégrale proposée ait un sens, il faut que chacune de ces intégrales, traitée par la méthode du numéro précédent, en ait un. L'intégrale proposée est alors, par définition, la somme des intégrales (J). .

n. — INTÉGRALES DANS LESQUELLES UNE DES LIMITES EST INFINIE