Définition. — Soit une intégrale de la forme

Cette notation n'a aucun sens par elle-même, car jusqu'ici nous avons donné toutes les définitions en supposant les limites finies. Pour voir si l'on peut attribuer un sens à l'intégrale considérée, on considère l'intégrale auxiliaire

OÙ la limite supérieure est finie. Puis, dans cette intégrale, on fait croître h indéfiniment. Alors deux cas se présentent :

a36 coins D'A y A LY SE

1" Si riiitégralc / /*(j) dv tend vers une limite quand b aug- Tnentc indéfiniment, cette limite est, par définition^ la valeur de l'intégrale

Cf{x)dx.

2" Si l'intégrale / /"(•*) d.v ne tend vers aucune limite quand b

augmente indéfiniment, soit qu'elle devienne infinie^ soit qu'elle devienne indéterminée ^ on dit que la notation

lj}(x)dx,

n'a aucun sens ; ou encore on dit, suivant les cas, que l'intégrale

ff:,)d.r,

<*st infinie ou indéterminée.

Exemples. — I. Soit

(Considérons l'intégrale auxiliaire

comme on le voit immédiatement en remarquant que l'intégrale indéfinie est — e'\ Quand b augmente indéfiniment, e~^ tend vers zéro. L'intégrale auxiliaire tend donc vers la limite 1 ; l'on a alors

Géométriquement, si l'on construit la courbe

qui est asymptote ii Ou*, notre raisonnement montre que Taire comprise entre la courbe, Taxe Ot/ et l'asymptote Ox est finie et a pour valeur 1.

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