III. Soit enfin

/ cos AcLv.

^ In

On a

j cos .l'd.v = sin h.

Quand h augmente indéfiniment, sin h n'a aucune limite, tout en restant compris entre — 1 et + 1. L'intégrale proposée est donc indéterminée.

138. Examen de quelques cas où la fonction f[.v] conserve un signe constant pour de très grandes valeurs de .r et tend vers zéro quand .r augmente indéfiniment,

1'^ Cas particidier. Soit l'intégrale «^-^

dx

r" dx

où p est un exposant positif quelconque et a un nombre que nous supposons positif, pour éviter que la valeur zéro, rendant — — infini,

soit comprise dans l'intervalle d'intégration.

La fonction — - conserve évidemment un signe constant quand p

.^i8 cor lis D'AyALYSE

augmente indéfiniment. Nous allons montrer (juo : rinlrorale a un sens quand /> > 1 ; l'intégrale est infinie quand p<i. Kn effet, calculons d'abord l'intégrale auxiliaire

Si p est plus grand que 1, 1 — p est négatif et, quand b croît indéfiniment, //~^' tend vers zéro. L'intégrale a donc alors une limite, et on peut écrire

Si p est inlérieur à 1, 1 — p est positif et, quand b croît indéfiniment, />'~^ croit aussi au delà de toute limite; l'intégrale proposée est donc alors infinie.

Si y^ = l, on a

/•'' dr

expression qui devient infinie avec b. Donc Si on construit la courbe

cette courbe a pour asymptote O^ : l'aire comprise entre une ordonnée fixe, la courbe et l'asymptote a une valeur finie pour y> > 1 ; ï'ile est infinie poury^^ I .

2° Jnic^ralcii se ramenant a uj précédentes. Soit une intégrale

dans laquelle la fonction /*(j-) conserve un signeconstant, le signe-fpar exemple, quand .r augmente indéfiniment ; nous supposerons, de plus, que celte fonction tende vers zéro quand jc devient infini.

LMEGHAii-'^ i)t.\s /./:sQi /://./ s i.\/: />/> ii.mui.s /.s/ i.mi.mi. . ;.,

Si on consU uil la coui Ix* ij — / .i , trll»' coui l>t' jx-iil i:(>in>ei ( ).< un nombre quelconque de lois, mais, à partir d'une abscisse dét.'iiuiii) .\ Miliisaniment grande, elle reste d'un même côté de Ox, au-dessus par exemple, et elle est asymptote à O.r. Nous voulons donner nue recèle pour reconnaitre dans des cas simples, si l'aire (•(Hiiprist' riitie la courbe et l'axe des x est fini» ou ikmi.

Si on considère deux points Cet B' de la courbe d:ni> \,\ ji;ir-

Fig. G5.

tie qui est «t d» lunii <■ ;iu-dessus de O.r et si on appelle c et h les abscisses dv ers deux points, CC et BB' leurs ordonnées, en supposant

A > c, on peut écrire

ph i^r r*h

La première intégrale du deuxième membre a un sens bien défini; la deuxième représentant l'aire CC'B'B croit constamment avec b\ il s'agit de voir si elle reste finie quand b devient infini.

Pour cela, on considère le produit

où j) est positif. Ce produit se présente sous la l'orme

X XO

(juand X augmente indéfiniment. On cherche si, par un choix convenable de p, on ne peut pas amener ce produit à avoir une limite.

1^ Si,/; ayant une certaine \i\\euv supérieure à 1, le produit / / / trnd vris une limite /, l'intégrale proposée est finie.

a4o COURS D'ANALYSE

2^ Si, p ayant une certaine valeur inférieure ou égale à 1, le produit a:^'f[x) tend vers une limite l, différente de zéro, l'intégrale proposée est infinie.

Premier cas. — Supposons d'abord qu'il existe un nombre p supérieur à 1, tel que le produit

■.rY(,r),

tende vers une limite l, limite qui peut d'ailleurs être nulle, quand v augmente indéfiniment. Dans ces conditions, il est évident que ce produit est très voisin de / quand x est très grand.

Partageons alors l'intervalle de « à x en deux parties de a à c et de fax, c étant très grand. On a

t/rt t'a t'^c

La première intégrale du deuxième membre est finie; il reste il montrer que la deuxième est aussi finie. Or, le produit

tendant vers /pour jc infini, si on appelle M un nombre positif fixe supérieur à /, il est évident que, .r étant très grand, le produit x^'f[x)y qui est très voisin de /, est inférieur à M. On peut donc choisir c assez grand pour que, .r étant supérieur à c, on ait

.'rY(.r)<M,

Mais on a alors

fh)d.<n(^.

Comme p est plus grand que 1, la deuxième intégrale est finie; la première, qui est moindre, est finie également, et l'intégrale proposée est finie.

Deuxième cas. — Supposons maintenant qu'il existe un nombre p inférieur ou égal à 1, tel que le produit