INTÉGRALES DANS LESQUELLES UNE DES LIMITES EST INFINIE
140. Remarque. — Nous avons, pour simplifier, supposé que f[jc) conserve le même signe quand a: est supérieur à un nombre fixe suffisamment grand et que /"(.x) tend vers zéro quand x devient infini. Il ne faudrait pas croire que cette dernière condition est nécessaire pour que l'intégrale
lA
x)dxj
soit finie, quand f[x) conserve un signe constant pour x très grand.
Soit, par exemple,
cette fonction conserve le signe + quand x augmente indéfiniment ; mais elle ne tend pas vers zéro, car, si on donne à x une valeur de la forme A-::, k étant un entier quelconque aussi grand que l'on veut, on a
La courbe
^ 1 H-:r''sin^^ '
est donc au-dessus de 0^ ; elle n'est pas asymptote à Ox, car elle touche la droite y = 1 en tous les points ayant pour abscisses
IZX
Fi g. GC)
0,71,27:, , A-7Ï, .... Pour la tracer, on peut remarquer qu'elle
touche aussi la courbe v= -1 — ; r ^^ ^^"^ ^^^ points d'abscisses
Cependant l'intégrale
dx
^•'Slll'^'
est finie. Pour le voir, on ne peut pas employer la méthode précédente qui suppose que la courbe est asymptote à Ox.
Nous emploierons une méthode qui réussit dans beaucoup de cas et qui consiste h partager l'aire comprise entre la courbe et l'axe Ox en tranches, par des ordonnées, et à vérifier que la série formée par la somme de ces tranches est convergente. Nous partagerons ici l'aire par les verticales d'abscisses
0, 71, 2,1, St:,
Nous aurons alors en appelant Uq,u^,...,u^^, les aires de ces tranches qui sont toutes positives,
Ifn = / f{'^) dx.
Mettons à part //„, nous allons montrer que la série
est convergente. Pour cela, nous chercherons une limite supérieure de w„. Si, dans l'intégrale u,^^ on fiiit
on a
et, comme
dt
" J, i-{-{n7z-\-/ysmU '
dt
Cette intégrale est aisée à évaluer; on peut écrire, en divisant haut et bas par cos" /,
ffn < -^
INTÉGRALES DANS LESQUELLES UNE DES LIMITES EST INFINIE i^S
et, en intégrant
arctang (/i^-'tang ^) .
Or, quand t part de zéro, Tare tangente part de 0 ; quand / = -^ ,
l'arc tangente est égal h -^ et, t continuant à croître jusqu'à -,
l'arc tangente croît jusqu'à t:. Donc, pour ^ = 0, l'intégrale indéfinie est nulle ; pour t = -, elle est égale à t:, et on a
La somme
a donc ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente
Elle est donc convergente et l'aire comprise entre la courbe et Ox a une valeur finie.
Ce résultat tient à ce que, dans la courbe, les ondulations qui vont toucher la droite ?/=l, deviennent de plus en plus étroites, de. telle façon que la somme de leurs aires est finie.
141. Examen de quelques cas où, :r croissant indéfiniment, f (.r) change constamment de signe.
Premier exemple. — Soit l'intégrale
sin j: , ax.
Actuellement, la fonction à intégrer
sin x
est, quelque grand que soit x, tantôt positive et tantôt négative.
Construisons la courbe
sin^r
quand x varie de 0 à + x : cette courbe part du point ^==0, 7/ = 1 ; elle coupe O^ aux points
TT, X = 2 71, , .r = /: 7r,
La courbe a la forme d'une sinusoïde, mais l'ordonnée maximum de chaque onde est moindre que l'ordonnée maximum de la précédente [fig. 67).
Fig. C;,
Appelons ?^j, «2) — y ?/„les valeurs absolues des aires des diverses ondulations. On aura
(^ sin.r - r^-^sinœ
dx.
sin.r
dx, etc.
en
général
n-\-i ={—!)- .^llf.
Jnr. ^
dx.
La figure montre que les aires successives u^,u^, vont en décroissant et que l'aire 7/„^i tend vers zéro, quand n devient infini. C'est ce qu'on vérifie sur l'intégrale précédente donnant u^^^. Faisons-y le changement de variable
x = nT^-\-t\
les nouvelles limites pour t sont 0 etîc; on a de plus
sin.r=sin(/i7:H-/) = (— l)"sin^;
do
ne
C" sin t "«+1 = ; -r— df.
