IMÉGRALES DANS LESQUELLES L\\E DES LIMITES EST INFINIE

Cette intégrale diminue évidemment quand îi augmente, et tend vers zéro quand n devient infini.

D'après cela, Tintégrale proposée

sin X

dxy

qui est la somme algébrique des aires des diverses ondes comprises entre la courbe et l'axe Ox est la limite de la somme de la série

Cette série a ses termes alternativement positifs et négatifs ; chaque terme est plus petit que le précédent et le terme général w,i tend vers zéro. La série est donc convergente et l'intégrale considérée a une valeur déterminée égale à la somme de la série.

Nous verrons plus loin que cette valeur est -^ .

Deuxième exe^iple. Intégi^ales de Fresnel. I sin^^ dxy j cos x^ dx. — Ces intégrales se présentent dans la ^ théorie de la diffraction de la lumière. Nous allons montrer qu'elles ont un sens. Prenons la première et construisons la courbe

sin^r

Fig. 68.

pour les valeurs positives de x. La courbe part de l'origine, elle coupe l'axe O^ aux points

Elle est ondulée comme une sinusoïde; chaque ondulation a pour ordonnée maximum ou minimum -|- 1 ou — 1. Mais les ondulations vont en se resserrant de plus en plus. En effet, la distance de deux points d'intersection consécutifs avec 0.r, A„A,i+^, est

248 COURS p' ANALYSE

ce qu'on écrit, en multipliant et divisant par la somme des radicaux,

Cette distance décroît quand n augmente et tend vers zéro. On en conclut, comme le montre la forme de la courbe, que si

désignent les valeurs absolues des aires des diverses ondes, on a u^> u^>u^ >?^„

et lim ?/„ = 0 pour x = az .

L'intégrale / sin a:^ d:v, étant égale à la somme algébrique de

ces aires, est égale à la somme de la série suivante à termes alternativement positifs et négatifs

Ji, — u^ -\- 7/3 — u^.

Cette série est convergente, puisque ses termes décroissent constamment et indéfiniment. L'intégrale considérée a donc un sens. Le même raisonnement s'applique h

/co?> x-cLr.

On démontre que la valeur numérique des deux intégrales de Fresnel est \/4-*

142. Cas où les deux limites sont infinies. — Si on a une intégrale de la forme

/J+ce t/— 00

pour voir si elle a un sens, on la partage en deux

£mdx+fj[x)dx,

Si chacune de ces intégrales a séparément un sens, la proposée en a un.