Cas où l'équation n'est pas résolue. — Soit

l'équation d'une courbe non résolue par rapport à y. En égalant h zéro la dérivée par rapport à .r de la fonction F(.r, y) où y est regardé comme fonction de x, on a

dx dy dx '

-25o COURS D'ANALYSE

d'où

dF

dj:

OF

dy

L'équation de la tangente au point (.^, ?/) devient alors, si on y remplace -y— par cette valeur,

Points singuliers. — Il peut arriver, exceptionnellement, qu'en un point (x, y) les dérivées partielles -^r — et -^- — soient nulles

Or lôy

L'équation précédente de la tangente devient une identité-, on <lit que ces points particuliers sont des points singuliers .

Ce sont ordinairement des points où plusieurs branches de courbe se croisent et où, par suite, il existe plusieurs tangentes.

Exemple. — Prenons l'équation d'une courbe algébrique dans laquelle les termes de moindre degré sont du deuxième degré

Kx' + 2 B.ry + Of + 'f 3 (-^^ y) + + ?« (.^, ^) = 0

oùA,B,C désignent des constantes, ©^(.r,?/) l'ensemble des termes homogènes du troisième degré en x et y, On[x,y) l'ensemble des termes homogènes de degré n en x et y. L'origine x = 0, ?/ = 0 est un point de la courbe, mais les ~~x dérivées partielles du premier membre de l,i^, ,.„j l'équation s'annulant pour .r = 0, y = 0,

l'origine est un point singulier. Pour trouver les tangentes en ce point, nous procéderons comme il suit. Coupons la courbe par une sécante [fig. 69),

y=imXy

TAXGENTE, NORMALE, S OUS-TA .\ (J f: X TE , ETC. -iSi

passant par O. L'équation aux x des points de rencontre s'obtient en remplaçant // par mx dans l'équation de la courbe. On a ainsi une équation qui, quel que soit r?i, admet la racine double v =r 0. Les autres points d'intersection ont pour abscisses les racines de l'équation

(1) A H- 2 Bm + Cm' + -^'f 3(1, m) + + -r""' 'f n(i, "i) = 0.

Ainsi, toute sécante passant par O coupe la courbe en deux points confondus avec 0 : on dit que ce point esiunjjoint double de la courbe. Pour que la sécante OM devienne tangente en O, il faut déterminer le coeflicient angulaire m de façon qu'un nouveau point M d'intersection vienne se confondre avec 0, c'est-àdire que l'équation (1) ait une nouvelle racine nulle. Pour cela, il faut et il suffit que m soit une racine de l'équation :

On peut donc mener au point 0 à la courbe deux tangentes qui sont réelles et distinctes, ou confondues, ou imaginaires, suivant que l'équation en m a ses racines réelles et distinctes, ou

y égales, ou imaginaires. En y remplaçant ni par -^ et chassant le

dénominateur, on obtient une équation homogène du deuxième degré représentant l'ensemble de ces deux tangentes

Aa;'-h2Bxij-hO/ = 0.

Cette équation s'obtient en égalant à zéro l'ensemble des termes de moindre degré dans l'équation de la courbe.

Quand les tangentes en O sont imaginaires