B^ — AC
il n'y a pas de points réels appartenant à la
courbe dans le voisisinage de O : ce point
s'appelle alors un point isolé de la courbe. Tel serait le cas de la
courbe
pour laquelle l'origine est un point isolé (fii^. 70).
ivi COURS D'AAALrSE
145. Cas où les coordonnées x et y d'un point de la courbe sont fonctions d'un paramètre u. — Si l'on a, le long d'une courbe,
on en déduit
dx = 'j>' [n) du, dij = '^' [u] du ,
et l'équation de la tangente devient :
^w=-S-[^-?wi-
146. Cosinus directeurs de la tangente. — Soit s l'arc de courbe AM compté positivement dans le sens AM, à partir d'une origine A prise sur la courbe {fig. 71). Menons la tangente Mt dans le sens positif AM et appelons i l'angle de Mz avec Ox. Nous allons démontrer les formules
d:v = ds cos 7, dy ^=^ds sin t.
Pour cela, considérons un point voisin M, de la courbe obtenu
en faisant croître s d'une quantité positive As. Les coordonnées J? et y de M subissent des accroissements MQ = A^,QMj ^Ay et le triangle QMM^ donne
A.r = corde MMj.cos(MM,, 0.r)
Ay = corde MM,sin(MMj, 0.r)
oii(MM,,0.r) est l'angle de MM, avec 0.r. Divisons] ces deux relations par A,v, et faisons tendre As vers zéro en remarquant
TAXGEyrE, NORMALE, SOUS-TANGENTE, ETC. 253
corde MM. ^ m i» i f^TZl 7^ n i
que ~ tend vers 1, et que 1 angle (MM,, Ojc) tend vers t,
nous aurons
dx dy
—-— = cos a-, —y- = sin o-.
as as
Ce sont les formules à démontrer.
On peut facilement les retenir en remarquant qu'elles expriment que les projections d'un élément d'arc ds sur les deux axes sont d.v et dy,
147. Position de la courbe par rapport à la tangente, — Prenons, sur la courbe, un point M, voisin du point de contact M de la tangente M; : soient j: -\- h l'abscisse et
l'ordonnée de ce point. Soit, d'autre part (fig. 71), M^ le point de la tangente ayant même abscisse jf -\- Ji que M, et y^ l'ordonnée de ce point M^. Cette ordonnée est fournie par l'équation de la tangente, où on fait X:=^-|-A
ou encore
Si on développe l'ordonnée y^ de la courbe par la formule de Taylor, on a
On remarquera que l'ordonnée y^ de la tangente s'obtient en limitant le développement de l'ordonnée y^ de la courbe h ses deux premiers termes.
Pour avoir la position de la courbe par rapport à la tangente, formons la différence?/, — y^ :
Supposons d'abord, ce qui est le cas général, quef"{x.) n'est
pas nul au point M. Alors, ïi étant pris pour infiniment petit principal, la diflerence ?/j — y^ est infiniment petite du deuxième ordre. Quant au signe de y^ — y^^ il est, pour h infiniment petit, le même que celui de f'Ç'^), car la parenthèse a évidemment le signe de f'^i-r) quand h tend vers zéro.
Si donc f"{'T) est positif, y^ — y^ est positif, quel que soit le signe de // ; aux environs du point M, la courbe est au-dessus de la tangente; elle tourne, en M, sa concavité vers les y positifs.
Si f"['X^) est négatif y^ — y^ est négatif, quel que soit le signe de // ; aux environs du point M, la courbe est au-dessous de la tangente; elle tourne, en M, sa concavité vers les y négatifs.
Pour obtenir les points d'intersection de la tangente avec la courbe, il faut chercher les valeurs de // pour lesquelles la différence 7/j — y^ est nulle. On a ainsi l'équation
o=^[rw+4-r(^)+ ].
qui admet la racine double h == 0. C'est ce qu'on exprime en disant que la tangente coupe la courbe en deux points confondus avec le point de contact.
Points d'inflexion. — Supposons maintenant qu'au point M on ait
f" (.r) étant différent de zéro. On a, dans ce cas,
La différence?/, — //^ est alors infiniment petite du troisième
ordre, quand h est pris pour infiniment petit
M/ ^ principal. Le signe de la parenthèse étant
mT celui de f"'{^i') pour // suffisamment petit,
on voit que y^ — y^, contenant h^ en facteur,
j change de signe avec //. La courbe est donc,
Fig. 72. ' " gauche de M, d'un côté de la tangente; a
droite de M, de l'autre côté. La tangente M/ traverse la courbe (/?J,^ 72); le point M est appelé point d'inflexion. La tangente en ce point a trois points commwns con-
TANGEME, NORMALE, S OU S-T A N G E NTE , ETC. aSi
foncliis avec la courbe, car l'équation donnant les valeurs de h qui correspondent aux points de rencontre de la tangente avec la courbe
contient, actuellement, Ji^ en facteur et admet la racine triple
Sif"'(x) était nul en même temps que /''Y-')» /^^ W étant différent de zéro, la courbe serait, aux environs de M, d'un même côté de la tangente, mais cette tangente aurait, a^ec la courbe, quatre points communs confondus en M.
148. Propriété caractéristique de la tangente. — De toutes les droites passant par un point M d'une courbe, la tangente est celle qui se rapproche le plus de la courbe. Soit
l'équation d'une droite passant par le point M(.r, y) de la courbe. Si on prend, comme plus haut, le point M^ de la courbe d'abscisse X -\- ]i et d'ordonnée
y-f^r + ll),
le point Mg de la droite ayant même abscisse X = .rH-A a pour ordonnée
y^ = y -\- mh = f{x) -f- mh.
La différence ?/, — y^ des ordonnées correspondantes de la courbe et de la droite est donc, en développant f[jc-\-h) par la formule de Taylor,
Tant que m est différent de/''(.r) cette différence est infiniment petite du premier ordre par rapport à //. Pour qu'elle devienne infiniment petite d'un ordre supérieur, il faut et il suffit que m =f'[.r), c'est-à-dire que la droite devienne tangente à la courbe.
449. Autre manière d'obtenir Féquation de la tangente. — Soit une courbe définie par les équations.
Pour que la droite
