Ordre de contact de deux courbes. — Considérons deux
courbes planes (Tig. 73)
y = 'iW.
ayant un point commun M de coordonnées .r et ?/. Soient y, et i/^
les ordonnées M^P, et M,Pj des deux courbes correspondant à une
abscisse
h étant infiniment petit. On Formons la différence
yi='l'>
des deux ordonnées et développons-la suivant les puissances de h par la formule de Taylor. Comme cette différence s'annule pour A = 0, elle contiendra une certaine puissance de h en facteur et sera de la forme
:=h'':a^^-\-a,h-\-aJi'
Fig. 7J.
OÙ a^ est différent de zéro. On dit alors que les courbes ont au point M un contact d'ordre n — 1. Si on cherche les valeurs de h donnant les points communs aux deux courbes, il faut déterminer h de façon que M^ coïncide avec M^, c'est-à-dire que //^ — ^2"=^- ^" a ainsi l'équation
aji
ajr
qui admet la racine nulle d'ordre n, h^^O. On peut dire alors que les courbes ont n points communs confondus en M.
L'ordre de contact des deux courbes au point commun M est donc égal au nombre de points d'intersection confondus en ^I, diminué d'une unité.
Ainsi, en un point ordinaire, une courbe et sa tangente ont un contact du premier ordre (deux points d'intersection confondus). En un point d'inflexion, une courbe et sa tangente ont un contact du deuxième ordre (trois points d'intersection confondus).
APPELL. Analyse. 17
151. Sous-tangente, tangente, sous-normale, normale. — Soit M (.i', //) un point cFune courbe, MT la tangente limitée ii
Taxe O.r, MN la normale limitée au même axe et MA l'ordonnée du point M [fig. 74).
La sous-tangente S^ est le segment TA. L'équation de la tangente étant
on aura Tabscisse du point T en faisant Y = 0, ce qui donne
L'abscisse de A étant .r, la sous-tangente est r — X ; donc
y ydx
La tangente t est la longueur MT ; le triangle rectangle MAT donne immédiatement, d'après la valeur précédente de TA,
y\J^^-^-y ly
La sous-normale S„ est le segment AX. L'équation de la normale étant
on a, en faisant Y=0, l'abscisse X du point X : d'où, la valeur X — LV de la sous-normale
%.^yy ^y-jj
TiXCENTE, NORMALE, SOUS-TANGENTE, ETC. 239
La normale n est la longueur MN. Le triangle rectangle MAN donne
n = ij\/l-i-ij- = ij
dx
152. Courbe ayant une sous-normale constante. — En écrivant S,j= a, on a l'équation
qui est ce qu'on appelle l'équation différentielle des courbes cherchées. En y remplaçant y' par -~- , on a
(5) i/di/ = ado-.
Le premier membre est la différentielle de-^i/-, le deuxième
de ax : ces deux fonctions ayant même différentielle, ne diffèrent que par une constante et on a, en intégrant les deux membres,
OÙ .Tq désigne une constante arbitraire.
Cette relation est ce que l'on appelle l'intégrale générale de l'équation différentielle (5) ; elle donne l'équation des courbes cherchées; elle représente des paraboles de paramètre «, ayant Ojc pour axe. Quand on fait varier ^\,, on trouve la même parabole qui se transporte parallèlement à 0.r.
153. Courbe ayant une sous-tangente constante. — En écrivant Sf = rt, on a l'équation différentielle
JL — ^ ^^
-^==^' ^="rf^
On peut, comme dans l'exemple précédent, séparer les variables, c'est-à-dire faire passer tous les termes en y dans un membre, tous les termes en x dans l'autre.
On a ainsi l'équation
dy dx
d'où, en intégrant et désignant par r^ une constante arbitraire
logy
ij = e
On a ainsi l'intégrale générale de l'équation difïerentielle (7). Elle représente des courbes ayant la forme indiquée (fii^. 75). Quand .r^ varie, elles se déduisent toutes, comme dans l'exercice précédent, de l'une d'entre elles, en la déplaçant parallèlement à Ojc. Ce fait pouvait être prévu, car la propriété Fig. 75. imposée à la courbe ne dépend que de
la position de la courbe par rapport à l'axe 0.1' et non par rapport à O//.
154. Courbe ayant une normale constante, n = a, on a l'équation dilïercntielle
ou, en élevant au carre et remplaçant y par —~ y\dx^^chf-)=aHxK Séparons les variables, il vient
En écrivant
et, en intégrant,
où J'o désigne une constante. On a ainsi l'intégrale générale de l'équation différentielle (8). Cette équation, rendue rationnelle,
représente un cercle de rayon a ayant son centre N en un point quelconque .r„ de O.v {ftg. 70). 11 est évident (pie, pour un quelconque de ces cercles, la normale MX est constante.
Mais il y a, actuellement, une autre solution. Quand on fait
TAyGESTE, NORMALE, S OU S-T A NG E NTE , ETC. 261
varier la constante arbitraire a\ qui figure dans l'intégrale générale (9), les cercles représentés par cette équation restent tangents aux deux droites ij=àza', on dit qu'ils ont ces deux droites pour eiH'eloppe. Comme la normale en un point d'une de ces deux droites est la même que la normale à celui des cercles (9) qui lui est tangent, ces droites sont aussi des lignes répondant à la question.
C'est ce qu'on peut vérifier, car l'équation différentielle, écrite sous la forme
ydij = ±\/a- — y-(lr,
est satisfaite pour i/ = ±ia. En effet, le long de l'une des droites
par exemple, on iidj/ = 0, ^ a- — ?/"=0. La solution constituée par l'ensemble des deux droites y=±a, enveloppe des courbes (9) représentées par l'intégrale générale, est ce que l'on appelle une solution singulière de l'équation différentielle.
155. Courbe aux tangentes égales. — En écrivant que la longueur MT de la tangente est constante, on a
dy
ou, en élevant au carré et remplaçant y' par
Séparant les variables et extrayant les racines, on a
(10) D'où
On a ainsi l'intégrale générale de l'équation différentielle des courbes demandées avec une constante arbitraire œ^. Quand :r^ varie, la courbe ne change pas de forme, mais se déplace parallèlement à 0:r. Cela tient encore à ce y que la propriété imposée à la courbe
dépend uniquement de la position de A la courbe par rapport à O.r et non pas
par rapport à Oij.
Il serait aisé d'effectuer l'intégration indiquée dans l'équation (11) en employant la méthode générale du n^ 82.
Mais, actuellement, il est plus avantageux d'exprimer les coordonnées d'un point de la courbe en fonction d'un paramètre. Posons
y ^=a sin u, \ cr — y- = a cos ?/,
(12) (ly = a cos II du.
On trouve, en portant dans (11),
Fig. 77-
