COS

dx = a — ; au ,

sin u

ou en remplaçant cos^u par 1 — sin'//,

d.v = a ( — ; sin // ) du.

\ sm // /

L'intégration donne

X — .r,,= //( log tang~ + cos // 1 .

Les coordonnées d'un point de la courbe sont ainsi exprimées en fonction d'un paramètre //.

La signification de // est simple : on a, en effet,

du

Donc // est l'angle de la tangente à la courbe avec Ox [fig. 11),

TA.\Gi:.\/'/:. XORMALE, SOUS-TAXC E NTE , ETC. 263

Construiso4îs celle des courbes qu'on obtient en faisant .2\ = 0

.v= al \o g tan g -^ — |- cos /m ,

y = a sin it.

Pour que tang -^j- soit positif, il faut faire varier n de 0 à 7t.

Deux Videurs supplémentaires de u donnent deux points de la courbe symétriques par rapport à Taxe Oi/. En effet, soient .ij et y, les valeurs des coordonnées correspondant à la valeur

On a

y^z=ia sin

Mais

t^»»^g(^-— "2-; =eotang-:^= ,

cos y, — u) --= — cos u, sin (t: — u) =: sin //.

Donc

Faisons donc varier /< de 0 à 7^ . Pour ?< = 0, .i' := — X , // = 0 ;

la courbe est asymptote à 0.r. Quand u augmente, x et // augdx dii . .p 1^ "^ r.

mentent car —7— et— f^ sont positils. Pour u = tt > ■*' =: 0 et du du 1

jj =z a : au point A ainsi obtenu, la tangente se confond avec

Taxe des y. La courbe s'achève par symétrie par rapport

Rectification de la courbe. — Appelons *• Parc de courbe compté à partir du point de rebroussement A. On a

ds = ^dx-^dy-.

Remplaçant d.v n (hj par leurs valeurs (12) et (13), on a, après réduction,

cos u j

ds= a—. du.

sin II

D'où, en intégrant,

5 = rt logsin 7/,

sans ajouter de constante, car, s étant compté à partir du point A doit s'annuler pour ?/ = -^^ , ce qui a lieu, puisque log 1=0.