AX4-BY + CZ + D

Les valeurs de // correspondant aux points de rencontre d'une courbe

avec le plan, sont racines de l'équation

(7) kf{u) + B<p («) -h Oh (//) -h D = 0.

iHo COURS DWXALYSK

l\>iir que le plan considéré soit osculateur au point M qui correspond à une certaine valeur de ?/, il faut qu'il coupe la courbe en trois points confondus en M, c'est-à-dire que l'équation (7) admette cette valeur de u comme racine triple. Cette valeur de ii doit donc annuler les deux dérivées première et seconde du premier membre de l'équation (7), ce qui donne les deux relations

A/'(//)-4-Bcp'(/04-Oy(.^) = 0,

^^' ' kf" [u)-^Bf {u) H- Oh" (u) = 0,

«|ui fournissent, pour A, B, C, les valeurs déjà trouvées plus haut.

168. Points où le plan osculateur est stationnaire . — En un point ordinaire d'une courbe gauche, le plan osculateur coupe la courbe en trois points confondus, de même qu'en un point ordinaire d'une courbe plane, la tangente coupe en deux points confondus. Il peut exister, sur une courbe gauche, des points exceptionnels où le plan osculateur a plus de trois points communs confondus; on dit qu'en ces points le plan osculateur est st(ttionnaire. Ces points sont analogues aux points d'inflexion dos courbes planes, si on regarde un point d'inflexion comme un point où la tangente a plus de deux points communs confondus avec la courbe.

Si le point M, correspondant à la valeur u du paramètre, est un point où le plan osculateur est stationnaire, en appelant

AX-4-BY4-CZ-f-D^0

Téquation de ce plan osculateur, l'équation (7) doit admettre // comme racine quadruple. Les coeflicients A, B, C du plan osculateur en M vérifient alors non seulement les relations (8), mais la nouvelle relation

(î); kf" (//) H- B^'^' [it) H- C'\"' {fi] ==: 0.

Remplaçant, dans cette relation, A, B, C par les valeurs proportionnelles tirées des équations (8), on a la condition

<|ui détermine les valeurs de u correspondant aux points où le plan osculateur est stationnaire.

PLJ.\ <>^( l'LA TEL n 281

169. Le plan osculateur en un point d'une courbe gauche traverse, en général, la courbe, — Kn effet, considérons d'abord le plan P déterminé par un point M d'une courbe gauche et deux points voisins M^ et ^ï^. Voyons quelle est la disposition de la courbe par rapport au plan P. Nous figurerons en pointillé les arcs de courbe situés au-dessous du plan P et en traits pleins les arcs situés au-dessus. Supposons qu'un mobile parcourant 1 courbe rencontre les points ^Ij ,^1,^1^ dans l'ordre ^Ij MM,. Al avant d'arriver au point Mj, il décrit d'abord un arc i situé au-dessous du plan [fiii: 83, I) ; il traverse le plan en M^ et par-