OIS

Fig. 81.

court un arc 2, de M^ en M, situé au-dessus; puis un arc 3, de M on M^, situé au-dessous; enfin il décrit un arc 4 partant de M^ et situé au-dessus du plan. Si, maintenant, les deux points M^ et M^ tendent vers M, en suivant la courbe, le plan P tend vers le plan osculateur en M, les arcs 2 et 3 deviennent nuls, et la courbe a, par rapport au plan osculateur en M, la disposition de la figure 83, II). L'arc 1 est au-dessous du plan, l'arc 4 au-dessus ; le plan osculateur traverse donc la courbe au point M.

Cas d'exception. — Il peut se faire exceptionnellement que le plan osculateur en un point M coupe la courbe en quatre points confondus, c'est-à-dire soit stationnaire. Dans ce cas, il ne traverse pas la courbe.

no. Perspective d'une courbe gauche. — Soit O un point 11 xe, R un plan fixe appelé plan du tableau : la perspective d'une courbe gauche C se définit comme il suit {fig, 84).

On joint le point 0 à un point M de la courbe gauche et on prend la trace m de OM sur le plan R. Le lieu des points m 4'st une courbe plane c appelée perspective ou projection centrale deC.

Quand le point O s'éloigne indéfiniment dans une direction

uSi

déterminée, la perspective devient la projection de C sur le plan R faite parallèlement à cette direction.

On démontre facilement que la tangente à la courbe perspective c au point /w est la perspective de la tangente en M h la courbe C.

Nous allons démontrer que si, sur la courbe C, il existe un point I tel que le plan osculateur P, en ce point, passe par le point de vue 0, la perspective i de I est un point d'inflexion de la courbe perspective c.

En effet, soit a h la trace du plan osculateur P en I sur le plan de projection R; 0 1 / la projetante du point I qui est tout entière dans le plan P; le point / est sur a h. Soit AB la tangente en I à la courbe gauche ; cette droite étant située dans le plan osculateur P en 1 a pour perspective ah [fig, 85).

Fig. 84

Fig. 85.

Donc la courbe perspective c est tangente en / à a h. Nous allons voir que, au point ?, la tangente a h tras>erse la courbe c. Vax effet, dans l'espace, la courbe C traverse le plan osculateur P; Tare M I tracé en trait plein est en avant de P et l'arc I M' tracé en pointillé est en arrière du plan P. Donc, sur la perspective, l'arc tn i est en avant de a h et im' en arrière de a h. La tangente a h traversant la courbe plane c en /, le point / est un point d'infle.vioft.

Cas d'exception. — 1^ Nous avons supposé

Kig. 8r,. 4"^ ^" tangente A B en I ne va pas passer

par le point de vue O. Si cette circonstance

se présentait {/ig. 80), la perspective de A B serait un point / et

la courbe c présenterait, en /, un rebroussement.