AX + BY + C/. + D

Les valcii TOiirbc

is de /r cori'espoiidanL aux points de leiieontre (l'une

iivcc 1. ,,l„r

1, sont racines de l'équation

,Y(„)t B^(«) + Ci(f(} + !:) = fl.

Pour qiio lo pl;ni considéré soit oscutateur iiit point M qui correspontl à une certaine valeur de u, il faut qu'il coupe lii courbe en trois points confondus en M, c'est-à-dire que l'équation (7) admette cette valeur de ti comme racine triple. Cette valeur de u doit donc annuler les deux dérivées première et seconde du premier membre de l'équation (7), ce qui donne les deux relations .„, ( A/'(„; + B='(„) + C'}'(,,)=0,

qui fournissent, pour A, ]î, C, les valeurs déjàtrouvées plus haut.

168. Points où le plan oseulateur est sts.tionna.ire. — En un point ordinaire d'une courbe gauche, le plan oseulateur coupe îa courbe en trois points confondus, de môme qu'en un point ordinaire d'une courbe plane, la tangente coupe en deux points confondus. Il peut exister, sur une courbe gauche, des points exceptionnels où le plan oseulateur a plus de trois points communs confondus; on dit qu'en ces points le plan oseulateur est slalionnaire. Ces points sont analogues aux points d'inflexion des courbes planes, si ou regarde un point d'inflexion comme un point où la tangente a plus de deiix points communs confondus avec la courbe.

Si le point M, correspondant à la valeur ii du paramètre, est un point où le plan oseulateur est stationuaire, en appelant AX + BY + CZ-1-D=0

l'équation de ce plan oseulateur, l'équation (7) doit admettre u. comme racine quadruple. Les coelTicients A, B, C du plan oseulateur en M vérifient alors non seulement les relations (8), mais la nouvelle relation

(9) Af" (») + B-j'" (,,) H- or („) = 0.

Remplaçant, dans cette relation, A, B, C par les valeurs [)roportionnelles tirées des équations (8), on a la condition

{f'r-'iV)r+(.i'r-fr)¥"+(ff-?rry"=o

qui détermine les valeurs de u correspondant aux points où le plan oseulateur est stationuaire.

169- Le plan oscillateur en un point d'une courbe g&uche traverse, en général, la courbe. — En effet, considérons d'abord le plan P déterminé par un point M d'une courbe gauche et deux points voisins Mj et M,. Voyons quelle est la disposition de la courbe par rapport au plan P. Nous figurerons en pointillé les arcs de courbe situés au-dessous du plan P et en traits pleins les arcs situés au-dessus. Supposons qu'uu mobile parcourant la courbe rencontre les points M, ,M,iM3 dans l'ordre M, MJI^. Alors, avant d'arriver au point M,, il décrit d'abord un arc 1 situé au-dessous du plan {fi^. 83, 1;; il traverse le plan en M, et par-

court un arc 2, de M, eu M, situé au-dessus; puis un arc 3, de M en Mj, situé au-dessoua; enfin il décrit un arc 4 partant de M^ et situé au-dessus du plan. Si, maintenant, les deux points M, et M, tendent vers M, en suivant la courbe, le plan P tend vers le plan osculateur en M, les arcs 2 et 3 deviennent nuls, et la courbe a, par rapport au plan osculateur en M, la disposition de la figure (83, II). L'arc 1 est au-dessous du plan, l'arc 4 au-dessus; le plan osculateur traverse donc la courbe au point M.

Cas d'exception. — 11 peut se faire exceptionnellement que le plan osculateur en un point M coupe la courbe en quatre points confondus, c'est-à-dire soit stationnaire. Dans ce cas, il ne traverse pas la courbe.

no. Perspective d'une courbe gauche. — Soit 0 un point li.\e, K un plan fixe appelé plan du tableau : la perspective d'une courbe fçauche C se définit comme il suit {fig. 84).

On joint le point 0 ii un point M de la courbe gauche et on prend la trace m de OM sur le plan R. Le lien des points jn est une courbe plane c appelée perspective ou projection centrale de C.

Quand le point O s'éloigne indéfiniment dans une direction

■■iSi COURS D'ANALYSE

déterminée, la perspective devient la projection de C sur le plan R faite parallèlement à cette direction.

On démontre facilement qne la tangente à la courbe perspective (; au point m est la perspective de la tangente en M à la courbe C .

Nous allons démontrer que si, sur la courbe C, il existe un point I tel (jue le plan osculateur P, en ce point, passe par le point de vue 0, la perspective i de I est un point d'inflexion de la courbe perspective v.

En effet, soit ah la trace du plan osculateur V en i sur le plan de projection R; 0 1 Ma projetante du point I <:juî est tout entière dans le plan P ; le point ( est sur a h. Soit AB la tangente eu I à la courbe gauche: cette droite étant située dans le plan osculateur P cii I a pour perspective a h [fig. 85).

Donc la courbe perspective c est tangente eu ; à a h. Xous allons voir que, au point i, la tangente a h traverse la courbe c. Kn effet, dans l'espace, la courbe C traverse le plan osculateur P ;

Tare JI I trac

nt de P et l'arc I M' tracé ■rière du plan P. Donc,

se présentait [fig

la courbe c présenterait, en

trait pli

en pointillé est sur la perspective, l'ai'c m i est en avant de ah &X i ni' en arrière de a h. La tangente a h traversant la courbe plane c en ;', le point / est un point A'ùïflexion,

Cas d'exception. — 1" Nous avons supposé <[uc la tangente AB en I ne va pas passer par le point de vue 0. Si cette circonstance 86), la perspective de A B serait un point ( et ■ebroussement.

EXEMPLIits aS'.

2" Il peut tiicore iiiriver que la tangente AB eu I ne passe pas par 0, mais que le plan osculateiir P en I soit stationnaive, c'est-it-clîre coupe la eoticbe en quatre points communs confondus. Alors il ne traverse pas la courbe et, en perspective, la tangente itb ne traverse pas la projection c.

m. Normales à une courbe gauche. Plan normal. — L'iic droite MX est normale à une courbe gauche en un point M quand elle est perpendiculaire à la tangente Mi en ce point. On peut donc en un point H mener une infinité de normales à une courbe gauche : tontes ces normales sont situées dans un plan passant par M et perpendiculaire à la tangente ; ce plan ost le plan normal a la courbe {/If^. 87).

Normale principale. Binormale. — Paimi les normales a une courbe gauche en un point M, deux qui sont particulièrement importantes.

On appelle normale principale la normale MA' à la courbe située dans le plan osculateur; la normale principale est donc l'intersection du plan osculateur et du plan normal.

On appelle hinorinale la normale ^IV perpendiculaire au plan osculateur.

En un point M d'une courbe, la tangente Mï, Ja normale principale MN' et la binormale MV forment un trièdre trirectangle.

Quand la courbe est plane, le plan osculateur se confond avec le plan de la courbe; lu normale principale est la normale située dans le plan de la courbe, et la binormale est perpendiculaire au plan de la courbe. Dans une courl>e plane, la binormale a donc une direction constante.