TT[V

D'après la première des conditions (1), le premier terme de cette relation (2) est nul, et on peut l'écrire, eu divisant par A,

Af („) + B-j"(») + Cl"{»)+4[V"(")+ ) = «■

Si, maintenant, on fait tendre //■ vers zéro, le plan ;M/' tond vers le plan osculateur et les deux relations déterminant A, lî, C deviennent

A/-'{H)+B-y(») + oi'(<o=o,

A/-"(«)+B-f"»+cf ;")--<J-

On en tire

A li C

'i^-^Y - i^'f'-fr ~ f't-if"'

L'équation du plan osculateur eu M est donc

l;Ji/' - ii.f) (X - ,) + (ff - fV) Ci-!,)

+(fY— i'nc^ -')=»■

PLA.y OSCVLATEUR ^77

Comme on a, u. étant la viirîable indépendante, dx=f' („) (h/. du = ■^' [u] du, dz = -V (») du,

d^x =:f"du'', d'i/^ -^"dn^, d-z :=; ''/'dir,

on peut aussi écrire cette équation

{dijd'^z — d'cPj/) (X — X; + [dzd'.i: — dxd-z] 'y — //) + 'flcd^i/ — di/d\r] {'A— r;=0.

165- Théorème I. Le plan osculateiir en un point M esl la limite vers laquelle tend un plan passant par la tangente Mï en ce point et par ini point M, infiniment voisin de JM. — En effet, Tin plan qnt'lcoiiqne passant par le point M a pour écjuation

Ce plan contenant la tangente M/, on a

(3) Y':"; + B?':"; + ct'(.,;=o.

l[xpi'im<>ns que ce plan contient le point M, tlo coordon-

',, comme x^f[u), Xi^f[a-i-/i),.

Développons /•(n + J), (p(»H-;i), ■K« + *), par 1» formule Je Taylor, nous pourrons écrire la dernière condition

/, [A/-- {„; + B-f'{,,; + cf (»}] + -^ [A/" (»;+B=" ;«)+ct" {«]] +TÏ3-tV"('0+ 1=0.

ni en vertu de (3) ;

Le premier terme de cette relation < upprimant alors le facteur -^ , on peut écrire

A /■" (») + B-f" (») + Cf {,,) + A [A/-'" („) + ] =

■i'ii COUnS D-A^ALYSE

Qua»<l /' tend vers zéro, cette rel;itioii donne ré([Uiition

(4) kf" («) + Ba" («) + O/" {il] ^ 0

qui, jointe à (3), détermine des quantités proporliiinnelles à A,B,C.

On retrouve ainsi les conditions ([uî définissent le plan osculitteur. et le théorème est démontré,

166. Théorème II. Le plan oscillateur en un pobil M d'unicourhe csf lu li'mi/e d'un pion passant par !M et par ticn.r poùit-'^ injhumcnt vaisiim M, et M,.— Soient :

les coordonnées du jniint ^[^,

.'•,=/■(" + *;. ». = ?(" + *;. -.-ii-' + 'v

celles du point Isi,. L'éijuiilion dVia plan passant par lo point M de coordonnées j:, ;/, z.

est

\-A\ fxpiiniant que ce plan passe par les deux poinis .M, cl M., on il, pour déterminer A, B, C, deux conditions qu'on peut

+ C[i[u + /c) — 'i{,iJ\ = U.

\'ai dévrlopp;nil par la formule de Taylor suivant les piilssunoes lie h et /,-, ou peut diviser la première coodltioii par A. la deuxième par k, et ou a

(5) A/'(,,; + B=';»)+Ci'(n) + 4['V"(«) + Br";"; + ';/"")j

+ rÏ3-[V"'(»;+ ]+ ="■

;V{„;+B='(„;+Cv';»;+4iV'(")+K?"(«!+<;i"{")

+TJiîiV"{»:+ ]+ -o-

Kn retranchant ces deux développements membre a niembre, on obtient une équation de condition dont tous les termes sont divisibles par /* — /■ et qui s'écrit :

;6)A/'"{„)H-B?";,,;+cr(»:+-^4-^[Ar{";+ 1+ =«■

les ternies non écrits conton;nit tous h ou /■ eu fycteur. Si, niaïutenaot, on l'ait tendre /i et /c vers zéro, les relations (5) et (0; deviennent

Ca: sont les relations qui déterminent les coeificien Is A, B, C de l'équation du plan oscnlatenr. Le théorème est donc démontré,

16T . Ordre de contact da plan osculateur avec la courbe. — On peut dire, d'après le théorème précédent, que le plan osculateur en M coupe la courbe en trois points confondus en M. En appliquant la même locution que pour le contact de deux courbes planes (n" 150), on peut dire que le plan osculateur a, avec la courbe, en M, un contact du deuxième ordre.

Cette façon d'envisager le plan osculateur permet de retrouver Immédiatement son équation par une méthode analogue à celle que nous avons suivie (ii°149) pour la tangente aune courbe plane. En effet, considérons un plan quelconque