III. — EXEMPLES

172. Hélice circulaire. — Soit une hélice Lracéc sur un cylindre de révolution de rayon a. Prenons comme axe des ; l'axe du cylindre , comme axe des ;r la perpendiculaire AO abaissée d'un point A de l'iiélice sur l'axe du cylindre ; comme axe des >/ une perpendiculaire au plan .rO.;. SoiL M un point de

riiélioe, P sa projection sur

le plan des rj. Con

mêle point P s

trouve évidemment sur le

cercle de hase du

ïlindre dans 1

plan*Oy,oii.OP = o.

Appelons n l'ongle AOP

on a

D'après lii définition de i'Iiélice, l'oidoii est proportionnelle à l'arc AP, c'est-à-dire les coordonnées du point ^I,

Â' désignant une ce

Pas de l'hélice. -

génératrice du cyli

■ r = MP du point

d'une hélice est la longueur de la l>risc entre deux spires consécutii'es.

Kig. Sg.

On peut dire aussi que c'est la longueur dont croît x- quand le point P fait un tour sur le cercle de base, c'est-ii-dire quand ii croit de 2 7^. Si on désigne ce pas par //, on a donc, d'après l'expression (1) de ;,

/( = 2 kr., k = ^.

Sens d'enroulement d'une hélice. ■ — Imaginons un observateui' placé dans l'intérieur du cylindre suivant l'axe du cylindre, ayant, par exemple, les pieds en 0 et la tête en :■. Supposons qu'un mobile parcoure l'hélice dans un sens tel que l'observateur voie ce mobile aller de ses pieds vers sa tète ; alors, pour l'hélice

HAE.MI'L/SS -i».'

représentée dans la figure 8, l'observateur voit ce niohile tonener îiutour de lui de sa gauche vers sa droile. Ce fait est iadépeiiilaut dn sens dans lequel l'observateur se place le long de l'axe. Car si on imagine un deuxième observateur ayant les pieds en 0, mais la tête en s'; si un mobile suit l'hélice dans un sens tel que cet observateur le voie aller de ses pieds vers sa tète, il le voit encore tourner de sa gauche vers sa droite. Cela tient d'ailleurs à ce que la partie de l'hélice située au-dessous du plan .ry et la partie située au-dessus sont égales comme symétriques l'une de l'autre par rapport i» l'axe Oj;. D'après cette propriété, on dit que l'hélice de la figure 88 est enroulée de gauche à droite (dex-

A« contraire l'hélice de la figure 89 est enroulée de droile à ^'■«Ht7t6(simstrorsum). C'est là le sensordinaîredes vis. Elle est représentée par les mêmes équations (1) à condition qu'on prenne comme sens positif de Oij la perpendiculaire dirigée en arrière sur le plan xQ-.

Ainsi pour passer d'une hélice à l'autre il sulllt de fhaiigor le sens de Oy en conservant les mêmes formules,

173. Cosinus directeurs de la tangente. Longueur de l'arc d'hélice. — Prenons comme origine des arcs s le point A correspondant à H^O, et, comme sens positif des arcs, le sens dans lequel se déplace le point M quand u croit. On a

ds = \/dx'-~\-di/-\-dz^ = i/a^-]-/âdu ;

nous choisissons le signe + devant hi racine carrée, puiscpie s croit avec k.

On a immédiate ni eut, en intégrant.

sans ajouter de constante, car s s'annule avec ((. Celle lormulc est évidente géométriquement ; en effet si l'on développe le cylindre le triangle curviligne AMP devient un triangle rectangle ayant pour hypoténuse l'arc AM ^ s et pour côtés de l'angle droit l'arc AP^^^au et l'ordonnée MP = /ch. Donc