COURS D

Menons ]a tniigciiLc M/ clans le sens des iircs posîtils, c'ost-iilire de a croissant; les cosiims a, 3, -; des angles de M/ avee les lxcs sont

ou, d'apiC's les viileiirs ci-dessus de d.f, ilij. d-, du, 3 = -"'""""

Le cosinus appelé y étant constant, la tangente à l'hélice l'ait uji angle constant avec les génératrices, propriété vendue évidcnlc par le développement dn cylindre,

174. Plan oscillateur. — Différentiunt deux fois les équaliiiiis de riiélieo (i) où " est vai'ial)le indépendante, on a

dx = — rt siu II du , dij =: a eos ii du, dz = /.du ,

d\i = — a cos udu\ dhj = — fl sin udu-, d'z = 0,

car u étant variable indépendante, iC^ii est nul. L'équation du plan osculateur à l'hélice au point .r, (/,.; étant mise sous la l'orme

les eoedluients A, B, C ont pour expressions

A = di/d^.z — dzd~y ^ ak sin udu",

B =^d.zd-a: — djEd^.z--=: — ak cos udu'',

C = dxd^y — dyd-x = a\hi.^.

L'équation du plan oseulalciir est donc, en supprjinaiit le l'acteur (/"■',

(X — a;) a^sin « — (Y — ^) ci/i cos «+ ('/ — -;;) «^ = 0.

Ou peut, dans cette équation, remplacer <■/ cos " et rt sin « par les coordonnées .v et y du point de'contaet. lille devient

^X — y ky — (Y — y] kx + (Z — z] a' = 0 ou, en déveloiqiant,

yGoosle

EXEMPLES -iS;

Telle est l'équation du plan osculateur il riiéliiic ;iii point (.t,r/,-\ Celte équation montre que : Le plan ostiilalcur à l'hèlicc en un point M contient la normale MN' a/i cj/lindre. En effet, lu normale MX' au cylindre se projette horizoutalemeut suivant le loyon OP; elle a donc pour équations:

yX — ay=0. /,r = U.

Le plan ostulatcnv (2) contient évidemment celte droite. D'après cela, la normale principale ii Tliélice en M est la normale MN' au cylindre.

Problème. Délerminer les points de contact des plans osciilaleiira menés à l' hélice par un point donné O' de coordonnées x', y', z'. — Soit M un des points de contact d'un des plans osculateurs cliercliés; a:", y, z les coordonnées de ee point. Il faut écrire que le plan osculateur (2) au point M passe par 0', ce qui donne la condition

Il faudra prendre, sur l'iiélice, tous les points (.i . y, z] vérifiant cette condition. Si on regarde x,y,z comme des coordonnées courantes, cette équation représente un plan Q passant par le point 0' donné. Les points de contact cherchés étant à l'intersection de ce plan et de l'hélice, on voit que \es points de contact des plans osculateurs à l'hélice issus d' un point donné O', sont sur un plan passant par ce point.

Si donc on fait la projection conique ou perspective d'une hélice sur un plan donné, le point de vue étant un point quelconque 0', les points d'inflexion de la courbe perspective sont en ligne droite. En effet, les points d'inflexion de la courbe perspective ne peuvent provenir actuellement que de la perspective des points de contact I,, Ij,.. I„ des plans osculateurs à l'hélice issus du point de vue O'. Ces points de contact 1,, I^,.. I„ étant sur un plan Q passant par 0', les projetantes 0'I,,0'Ij,.. 0'I„ sont dans le plan Q et leurs traces sur le plan de projection sont en ligne droite.

Cette propriété subsiste quand le point 0' s'éloigne iiidéliniment dans une direction donnée, c'est-ii-dire quand on projette la courbe sur un plan, parallèlement à une direction donnée. Par

-iSK COURS D'ANALYSE

exemple, lit projection orthogonale de l'iiélico sur le plan .r 0 est la eouibe (.léfinie par

,r-=«cos.-, .;■-=/■«,

doii

Cette courhe a une infinité de points d'inflexion tous situés sur O;.

Remarquons, eu terminant, qu'il n'y a pas sur l'hélice de points oii le plan oscnlateur est stationnaire, c'est-ii-dire coupe en quatre points confondus. Nous avons vu, en effet, que, pour une coovlie

si de pareils points existent, ils sont donnes par l'équation

A/-'" ;.')+Bî"'(«)+cr (»)=".

A,B,C étant les coelTicients du plan osculatcnr. Or, actuellu-

A = <i/' sin itdiâ, Q=~.:kcùsudii\ C = «Vif',

La quantité

est donc ici, en supprimant le facteur dii*,a^k : elle est constante et ne peut pas s'annuler.

nS. Altiuî exemple. — Cherchons le plan oscnlateur ii la cour]>e définie par les équations

X est nu paramètre Actuellement

variable.

d.7: = ld).,

dz^i'l..

<f^^rfx^