I. — SÉRIES DE MAG-LiURIK ET DE TAYLOR

n6. Représentation géométrique d'une fonction de deux variables. — Soit une fonction -■ des deux variables indépendantes, X et ;;,

Par rapport à trois axes rectangulaires Oa,Oi/,0:, cette équation représente une surface, qui figure géométricjuement lu variation de la fonction z.

n7- Développements en séries de puissances entières et positives des variables. — Soit d'aliord l:i fonction

à développer suivant les puissances entières et positives de .c et y. Les identités :

iZ'!,' ='+?+>'+ +!/'-',

tlonnent, en miiltipliaiU membre ;i niembie, ■' + '/•■

Si l'on liiit croître p cX q iiidéfiHimeiil, en supposant x g\. y moindres que 1 en valeur absolue, x'',y'' tendent vers zéro et Ton a le développement

où les exposants in et n prennent toutes les valeurs positives entières. Ce développement est convergent pour -~l<,r<l, — l<y<l.

Cas général. — Prenons maintenant une série oiilonnce par rapport aux puissances positives croissantes de deux variables :c et ij

où m et« prennent toutes les valeurs entières et positives, les coefficients constants «o.o, «,.o, «o,,, ■ - ■ , -v,,,,,! se succédant suivant une loi déterminée.

On a alors le théorème suivant :

Une série de la forme (1) est convergente pour des valeurs de x et y comprises dans des intervalles symétriques par rapport à zéro.

On démontre ce théorème par un raisonnement cjui est l'extension naturelle de celui qui a été employé au n° 96.

Supposons, en e£Fet, que la série (1) soit convergente pour ,£ = «, y^ p; nous allons démontrer qu'elle est convergente pouf toutes les valeurs de x et y telles que

Il I

— et -^ désignant les valeni En effet, la série étant convergente pour .

,„an,i 1\,

jroit indéfiniment,

.!9' COURS l>\l.\ALrSE

el quiuid ces deux entiers croîsseut indéfitiimoiit suivant une loi queicoiHHie.

Ou peut donc assigner des valeurs de 'ti' et «' assez griiiides pour que l'on ait

la,.,..-"?" ]<1,

pour toutes les valeurs de m et n telles i[ue

Cela posé, écrivons la série ;.l) sous la l'orme suivante :

Tja série se compose d'abord d'un nombre limité de ternies pour lesquels les exposants m et /( sont moindres que m' et n' ; pour les autres termes, en nombre illimité,

el, par suite, pour la valeur absolue du terme général Or, la série dont le terme général est

VÏAVi<|^ "'II. '.

" JL\"

('ht conyorgetUe, d'apios le cits p;irliciiîîor pi'ccétîent, et a poi

FIT1JHTD'

,lè. ,,„c

SEJIIES DE MAC-LAVHtX ET DE TATLOR si)

La série proposée est donc ôgiilenient convergente, dès qnc .< et y possèdcnl des vnlcurs telles que

nS. Interprétation géométrique. — Si Ton appelle somme de lu série

în fonction r définie par celte reliition existe pour

Si donc, i

.idèi'o dans

.1'// les «piiitre drc

ingle ABCD./;^-. 90\ e et 'J

ces ([natre droites Tornient un tout point P de coordonnéi situé dans ce rectangle, la valeur de :: existe. On peut donc dire que l'équation (2) définit une portion de surface courbe A'B'C'D' se projetant horizontalement sur le rectangle A B C D.

On a ainsi l'extension aux fonctions de deux variables des théorèmes rencontrés antérieurement pour les fonctions d'une variable (n" 9G}.

On peut appeler le rectangle ÀB(!D le rectangle de eonve gence de la série (IV

179. Différentiation et intégration des séries depaissanct entières et positives de deux variables. — Une série tel que (1) définit, dans le rectangle de convergence, une fonctii de ,(-■ et //.

On peut déinoutrci

: nous l'av

ig^ COURS D'A.yJLrSE

variable, les deux théorèmes suivants que nous énonçons seulement :

1" Si l'on prend les déi-wèes partielles de tous les termes de la série i {3:, y) par rapportât ou à y, la nouvelle série obtenue converge dans le même rectangle que la premièra et a pour somme la dérivée partielle

-^ ou -^.

2" Si l'on inuliiplie tous les termes de la série pur dx et si l'on intègre, par rapport à x de Q à x, la nouvelle série obtenue est convergente dans le même rectangle que la proposée et a pour

(;y.;,,-,j)<ir.

On a un ihcorcnie semblable pour l'autre variable y.

180. Série de Mac-Laurin pour une fonction de deux variables. — Etant donnée une foncLion de deux variables f[.v,y), proposons-nous de la développer en une série procédant sui- %'ant les puissances entières et positives de x et y.

f{x,y) = «„,„+ fl,,^r + «,,,*/ + «,,<.r^ + a,,xy + «„,^^ +

Le problème est de calculer les coeflicients a„,„ quand la l'onction est donnée. Pour cela, prenons les dérivées successives des deux membres par rapport ii .ret (/.

SÉllIE.'i DE ilAC-LAVRI.S ET DE TAYLOR agi

les tortues uou ôcrits coiiti'tianl .c ou y en Tacteiir. Dans lous l'es développements, i'iiisons .r = 0,t/ =0; nous nvons :

On 11 iiiusi k' dûvolopporaoïit tlcmaiidé ;

^M-m.^--''mMm-

où les iiHlie,es ii sljfnifient, L[u'iiprès avoir pris les tlcrivces, il liiut y remplacer .r et y par 0.

On a ainsi l'extension à deux variables de la série de Mae- Liiurin.

Pour que ec développement soit applicable, il Tant

1° Que toutes les dérivées [ .. „, , , } soient finies et déterniî- \ ox"' iiy" / 0

2" Que la série soit convergente;

3" Qu'elle ait poiiv somme !a Jonction donnée f[x,i/).

Si l'on suppose ces conditions remplies, la série représente la fonction f{.c, t/] pour toutes les valeurs de x et v/ qui la rendent convergente, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de s et ?/ comprises, respectivement, dans des intervalles symétriques par rapport à 0.

Géomfilrif/neiitrn/, si l'on considère la surl'iice

ropréseiite h» portion Je cette surface qui se projette sui' le plan des,.;/ dans ini eeitnin rectangle ABCD IJii;. 'M).

COURS D'ANALYSE

Autres notations. — Désignons par p, q, r, s, i les dé] parlielles de .r p;ir rapport ax el y (Voyez n" 19).

jy

àrf;, -

Convenons en outre de désigner piir ^|„ p^, q^, i\, n^,, I^ valeurs de la fonction et de ses dérivées pour a;=^0, // = Nous pourrons alors écrire les premiers termes du développe] de la façon suivante :

181. Série de Taylor. ~ La série de Mac-Laurin periiiel de développer la fonction

pour les valeurs de .r et y situées dans un rectangle ayant pour sommet l'origine, et, par suite, d'étudier la surface représentée par l'équation (3), dans le voisinage du point où elle coupe l'axe 0 .î.

Si l'on veut étudier la même fonction fi^x, y) dans le voisinage d'autres valeurs

on ramène ce cas au précédent en posant

oL on étudie la ionction

pour des valeurs de x' et y' voisines de zéro. Si l'on développe cette fonction de j:' et y' suivant les puissances positives et croissantes de x' et y', on doit, pour former les coeflicients du déve-