Dii
équation
point M de cette surface ayant pour coordonnées .i,i/,.z. Par définition, le plan tangent en M est le lieu des tangentes menées, en M, à toutes les courbes tracées sur la surface par le point M. Imaginons une courbe quelconque M C tracée sur la surface et passant par M (Jlg.92). Le long de cette courbe, les coordonnées d'un point sont des fonctions d'un paramétre u vérifiant identiquement la relation
nfini
leiit pe
poi
yGoosle
l'LA.V TANGENT A UNE SURFACK agg
lii courbe Cj un tlépljicement infiniment petit MM' :iyanl pour projections les différentielles ch-, di/, dz des coordonnées regardées comme fonctions de «. Les éqnations de la tangente Mï ii la courbe C sont alors
,t, - ,hj ,h ■
Comme les fonctions .r,i/.^ z de la variable (( vérifient identiquement la relation
on a, vn uj)]iU(.|uant la rî'gle de difl'érentiation des l'oncti(nis composées.
relalion que nous écrirons
en désignant, pour abréger, paryj et // les dérivées partielles de r par rapport i» j- et (/ :
' ■ " A,- • •• — il/
En remplaçant dans l'équation liomogène (2) dcr, dij, dz par les quantités proportionnelles X — j\'^ — y,'L — z tirées des équations (1) de la tangente, on a l'équation du ïieii'aés tangentes
Telle est l'équalioii du plan tangent au point {.r,t/,z).
183. Normale. — La normale au point [x, y, .;) à la surface, étaut la porpeudicuiaive au plan tangent, a pour équations
yGoosle
l'apport a
MO cocR-s D'Ay.ii.y.-.!-:
184- Cas où la, surface est définie par une équatio, résolue. — Soit
l'équation dt; la surlaco. Cotte équation (.léfiiLit - tomme une tioii implicite di' .r et // qu'on peut désigner pai'
Pour oalcnler la dérivée partielle Je ~=:p, on prendrii la dérivée du premier membre de (5} par
ainsi
OF ilF
Ces relations donnent les valeurs de /( et '/ : en les portant dans les équations du plan tangent o.t de la normale, on obficnt les équations
.'Plan tangent' {K — .r~-{-'\^</ 4^+ /.— r'-^^O:
Normale, j],- "^^ÎF^ "^ ~ôî^' (\c 0// .13
Nous prendrons, ordinairement, les équations du plan tangent et de la normale sous les formes (3) et (4). Quand l'équation de la surface n'est pas résolue par rapport ii ;, on se rappellera que y; et <j sont définis par les relations
yGoosle
185- Points singuliers. — Il peut se l'iiiro, qu'eu un point ,r, ;/, -■] cli: la surl'ucc définie par réc[iiatioii
les ti'ois déi'ivées ptirtielles
aV >•)!■' ."IF
ly7' ^1/ ' i)z '
.lolenl nulles loiiU-s les (rots. Aloi's l'équatidii du plan tangent . ilK ,,. , ûF ,., , ÙF
n'existe plus. Les valeurs deyj et q apparaissent sous forme i/idéleriiiinée. Les points spéciaux pour lesquels cette circonstance se présente s'iippellent points singuliers de la surface. En un tel point, les tangentes aux diverses lignes tracées sur la surface ne forment plus un plan, mais un cône dont le degré peut être plus ou moins élevé. Par exemple, le sommet d'une surface coni([ue est un point singulier de la surface : les tangentes aux diverses courbes tracées par ce point sur la surface conique forment évidemment un cône qui se confond ici avec lu surface conique elle-
186. R];MAiigiR. — La timgcute à luic t-umUc en iiii poiiU M est la limite d'une droite joignant le point M ii un point M' infiniment voisin. Il ne faudrait pas croire que le plan tangent à une surface en un point M est la limite d'un plan passant par il et par deux points infiniment voisins M' et M" pris sur la surface. Le plan MM' M" tend vers des positions limites diverses qui dépendent de la façon dont les points M' et M" tendent vers M en se déplaçant sur la surface.
Par exemple, si les points M' et M" tendent vers M de façon que les droites MM' et MM" tendent vers deux tangentes /lislinctes ii la surface, le plan Mil' M" tend vers le plan tangent, car sa position limite contient deux tangentes à la surface. Mais si les points M' et M" tendent vers M en suivant tous deux une même courbe tracée sur la surface par M, le plan MM'M" tend vers le plan osculateur il cette courbe et non vers le plan tangent il la surface.
.lO-j COURS B'AIWif.rsE
187. Position d'une surface par rapport au plan tangent dans le voisinage du point de contact. — ■ Prniions, sur hiic
lin point déterminé A <k' coordonnées a, l>, c
ayant pour pt'ojectîoii O' sm- le plan des xi); iippelons /; et q les valeurs des dérivées ~- et -^ en ce point, /■, s et t les valeurs des
dérivées secondes ^— V t -r—: — et -:r-^ au même point. Soit ^1 lui point de la auriace, voisin du piiint A, P sa projeclimi sur
le plan des xi/ ; pour étudier la surface dans le voisinage du point A, transportons l'origine au point 0' en prenant de nouveaux axes O' .t' 1/' z' parallèles aux anciens (fi^'. 93). Nous aurons
et l'ordonnée ^ conservera ia même valeur.
Les quantités x' et ?/' sont les coordonnées du point P par rapport aux axes O'x', O'y'. La valeur de .; en lonction de x et '/ devient
ou, en développant par la formule do Tavlor,
■Tr(-
('/. I.V r.ljVGff.VÏ' A UNE SURFACE 3o3
L'oiilonm'^n MP veni^oiitre le plan tangent en A en un point M,, dont Rons appellerons r, l'ordonnée M,P. Comme le pliui tangent en A a pour équation, par rapport aux anciens axes,
ut que les cuorclonnêes du point 1* sont
l'cu'donnée r, du j
La quantité c étant égiile à /'^rt, //, on voit que l'oi'donnée ,-j du plan tangent s'obtient en a';irrètant aux termes du premier degré inclus, dans le développement de rordonnée ; d'un point M de la surface suivant les puissances de x' et y' ■
Pour voir comment la surface est placée par rapport au plan tangent, faisons la différence .-— ij des ordonnées MP et M^P. On a
oii les premiers tei-uies uon écrits sont du tioisièmc degré en
x' et y.
Désignons par f et s les coordoonéos polaires du point P par rapport aux axes .r' 0';/'. On a
oii/j(») est un polynôme homogène du troisième degré en cos -i et sin !p. D'après cette expression, si s n'a pas une valeur aniuilant le trinôme
/"j(s} =; '■ cos^ y +2 s cos ^ sin -a + t sin- »,
on peut prendre p assez petit pour que la quantité qui multiplie p- ait le signe de ce trinôme /^(a). La différence ; — .-, a alors
3o.i COURS DAy.i/.rSE
le signe do ee iiirmc trinôme. D'après cela il y aura à distiogiicr
trois cas, suivant la nature des racines du trinôme ^ (s\
Premier cas. — Soit d'abord )■( — s* positif. — Alors le trinome f^ (-f) ne s'annule pour aucune valeur de ^ : il conserve, quel que soit a, un signe invariable. Donc, dans le voisinage du point de eoiitact A, le signe de j-— -, est invariable; la surface, au voisinage de A, est située d'un même coté du plan tangent en A. On dit alors que la surface a, au point A, une courbure totale positive, ou encore qu'elle est convexe en ce point.
On peut se rendre compte d'une autre manière de ce fait que, dans le cas actuel [ri — s'>0), le plan tangent en A n'a en commun avec la surface, dans le voisinage du point A, que le point de contact A lui-même. En effet, pour obtenir l'équation de l'iutcrsectîon de la surface par le plan tangent, 11 faut écrire
projection de l'interscctioi
le plan des
les termes non écrits étant au moins du troisième degré en ^ et!/'. Cette équation ayant, comme termes de moindre degré, des termes du second degré, représente une courbe ayant un point double à l'origine. Mais ce point est un point isolé; en effet, l'équation du faisceau des tangentes ii l'origine est
,■,,'' +2.yy+ /y- =0,
équation représentant deux droites imaginaires, car ;■;■ — s^ est supposé pOHilif.
KxEMi'LES. — Par exemple, un ellipsoïde, un liyperboloïde à deux nappes, un paraboloïdc elliptique sont des surfaces convej:res en ehacim de leurs points. Un tore est convexe en tous les points de la partie engendrée par la moitié de la circonférence générative PAP' [fig. 94) opposée à l'axe. Quand une surface est convexe, en un point A, si on mène un plan parallèle au plan tangent en A il une distance très petite du plan tangent du côté où
i U.S'E SURFACE
se trouve la surface au voisinage de A, ce plan coupe la suivant une petite courbe Cermée. C'est ce qu'on voii figure 94 qui représente un tore, le point A étant pri
pnrlic convexe tlii tore. Un plan parallèle au plan langent, très voisin de ce plan et placé de l'autre côlé, ne coupe pas la surface au voisinage de A-
Deuxième cas. — Supposons rt — s- négalif. — l'n éerivant le trinôme f^ (a) sous la forme :
on voit qu'il s'annule pour deux valeurs de tanga tangy = À, tang=;=V,
réelles et distinctes. A ces deux valeurs de tang a correspondent, dans le plan a^O';/', deux droites O'E et O'E' {fig. 95), de coefficients angulaires ), et ).' ; soient, dans le plan tangent en A, AD et AD' les deux droites ayant pour projections O'E et O'E'. Quand le coefficient angulaire tang <ù de O'P n'est pas égal à X ou À', le trinôme f^ (s) n'est pas nul, et, par suite, z — .::, a le signe de ce trinôme pour des valeurs suffisamment petites de p. Comme le trinôme ^ [o) a des signes différents suivant que tang » est ou non compris entre les racines 7> et )/, la différence s — ^, a un certain signe pour les points M de la surface, voisins de A, se projetant horizontalement dans l'angle EO'E' ou dans l'angle opposé par le sommet, et le signe contraire pour les points M voisins de A se projetant dans les angles adjacents. La surface traverse donc le plan tangent dans le voisinage du point A.
On dit alors que lu surface possède en A une coiirfu/re totale néf^ative.
Pour avoir l'équation de Va courbe d'iutersection de la surface et du plan tangent, Aiisons encore
mme projection de l'intersection
Cette équation représente une courbe ayant un point double à l'origine 0' ; le faisceau des tangentes au point double a pour
ces tangentes sont réelles, ce sont précisément les droites O'E et O'E'. Donc le plan tangent en A coupe la surface suivant une courbe, ayant un point double au point de contact et pour tangentes en ce point les deux droites AD et AD'. Ces deux droites AD et AD' se nomment les directions asijmptotiques au point A.
Exemples. — Par exemple, un hyperboloïde il une nappe, un paraboloïde hyperbolique sont des surfaces dont la courbure
totale est négative en chaque point. Le plan tangent à mi paraboloïde hyperbolique en uu point A, le coupe suivant deux droites AD et AD' {fig. 96).
Un tore est à courbure totale négative, en tousles points de la partie de surface engendrée par la moitié de la circonférence génératrice (fig. 97} tournée vers l'axe. Le plan tangent P, en un de ces points A, coupe le tore suivant une courbe ayant un point
double en A. S
double A, on obLienl les directions a^ymptotiqui
Troisième cas. — Supposons enfin ri — f^ ;'a) :^cos-s 'nang^» + 2s
\'GE,\T A UNE s ont' ACE 3o7
ne les tiuigeiites AD et AD' uu point point A.
nul. ■ — Alovs le ti'i-
Ce U'inome a un signe constant, quel que si limg, = )..
Donc, tant que le coeflicienl angulaire tai égal il)., lii différence z — z^v^, dans le voisinage (le A, un signe constant. Si on fait tangy:=X, c'est-ii-dire si le point P est sur la droite O'E de coefficient angulaire ),, f\ (») est nul, et alors, pour p sunJsammeut petit en valeur absolue, z — 5, a le signe du premier ternie de son développement qui ne s'annule pas pour tanga=).. '^ i\t- %%.
Donc la surface est d'un même côté du
plan tangent, dans toutes les directions autour du point A, excepte dans une direction AD (fig. 98) ayant pour projection O'E et la direction opposée. Pour ces deux directions opposées, on ne peut rien allirnier, sans faire d'hypotlièses particulières sur la façon dont se comportent les termes successifs du développement
qui
land I
■X y fait tangçi=)..
Dans ce cas, on dit que la surface a, au point A, une courbure totale nulle.
Le plan tangent en A la coupe suivitiil une courbe, dont hi projection a pour équation
Actuellement, cette courbe possède en O' un point double à tangentes confondues avec O'E. Le plan tangent en A coupe donc la surface suivant une courbe ayant en A un point de rebroussement de tangente AD, ou, plus généralement, un point singulier
uù deux branches de courbe sont tangentes entre elles et a hi droite AD. Les deux directions asymptotlques, au point A, sont alors confondues avec celte droite AD.
Exemples. — Dans une surface conique ou cylindrique, Ui courbure totale est nulle en chaque point A; en effet, le plan tangent a une de ces surfaces en un point A, étant tangent tout le long de la génératrice AD du point A, coupe la surface suivant deux droites confondues avec AD. Cette droite est la direction asymptotique en A. Ainsi la quantité rl-^s^ est nulle en tous les points d'une surface conique ou cylindrique. Nous verrons plus tard que cette propriété est caractéristique des surfaces appelées surfaces déceloppables.
Dans un tore, le plan tangent perpendiculaire a l'axe touche la siirface tout le long d'un cercle C. En un point A de ce cercle la courbure totale est nulle : le plan tangent en A coupe la surface suivant deux circonférences confondues avec C, c'est-à-dire deux courbes tangentes en A. La tangente AD à ce cercle C est la direction asymptotique en A. Le cercle C et son symétrique par rapport au rig m P^^^ ^^ l'équateur du tore partagent la surface
en deux parties. Sur la première partie qui est opposée il l'axe, la courbure totale est. positive ; cette partie est marquée {fig. 99) sur la figure par des +. Sur la deuxième partie, qui est tournée vers l'axe, la courbure totale est négative; cette partie est marquée sur la figure par les signes — .
