III. - APPLICATION, - PLAN TANfiE.'fT AUX SURFACES RÉGLÉES
188- Formules générales. — Considérons une droite mojjlle ayant pour équations
où les cocUlcicuts a,h,h,l: sont des fonctions continues d'un paramètre u :
Arf/.!C.1T!0,\'. pla:
'.\GÂ'XT Arx SURFACES RÉGLÉES
Quand n viirie, cette droite engendre une siu-face réglée. Les droites G sont les génératrices de la surface. Soit AB une position de la génératrice, nous nous proposons d'étudier les variations du plan tangent à la surface en un point M qui se déplace sur cette génératrice.
Considérons la section C de la surface par un plan P parallèle au plan des xy et menons la tangente M; ii cette section au point où le plan P rencontre la génératrice AB (^à^ 100). /
Le plan tangent en M, devant contenir ^''^- "•"■
les tangentes à toutes les courbes passant
par M sur la surface, contient les deux droites Mi et MA : c'est le plan ïMA. Ce plan a pour trace sur le plan des xy la droite h.t' parallèle à M/. Le long de la courbe C, z- est constant : les coordonnées d'un point de cette courbe sont donc exprimées en fonctions de " par les formules
où z est constant; et le à cette courbe est
.elllcl
t angulaire ni de la tangente M/ -dh + dh
Cette même quantité m est le coellicieiit angulaire de la trace Ai' du plan tangent en M sur le plan des xij.
Quand le point M se déplace le long de la génératrice AB, ii garde une valeur constante, ainsi que da, db, dh et dk, tandis que 5 varie de — ce à -|- x . On voit que m varie avec : toujours dans le môme sens et prend une fois, et une seule fois, toutes les valeurs possibles de — x i» + ce. Cela résulte de ce que
dm. dadk — dhdh
■-■dfi-\-d/iY
conserve un signe constant quel que soit ;.
Le plan tangent, quand le point M décrit la géni d'un bout à l'autre, tourne donc toujours dans le
3io C0UH3 D'ANALYSE
autour de AB et prend une fois et une seule fols toutes les positions possibles.
Cas exceptionnel. -— Il pout arriver, exccptionncîlemcut, qne m soit indépendant de ;. Pour qu'il en soit ainsi, il fnut et il sullit que l'on ait
(1) dadk^dbdh = i).
Dans ce cas, le plan tangent est le même en tous les points de la génératrice AB.
189. Classiûea.tion des surfaces réglées : surfaces gauches et surfaces déveJoppabJes. — Lorsque la condition (1) est remplie pour toutes les génératrices d'une surface réglée, c'est-à-dire est remplie quel que soit «, on dit que la surface est développable.
Si, au contraire, cette condition n'est pas remplie, quel que soit if, on dit que la surface réglée K^i gauche.
D'après cela, pour une surface développable, le plan tangent est le même tout le long de chaque génératrice, comme pour un cône ou un cylindre. Pour une surface gauche, au contraire, le plan tangent varie quand le point de contact se déplace le long d'une génératrice : il peut eîôster sur la surface gauche des génératrices particulières pour lesquelles la condition (i) est vérifiée, mais ce sont des génératrices exceptionnelles.
Par exemple, la droite
engendre, quand ii varie, une surface développable; car t
donc
(2) ,1a dk - dh dh -^ IJ
identiquement.
.'\u contraire, la droite
APPLICATION. PLAN TAXÛE.xr Jf.V fil-JIFACES HEGLEHS
luIre une surface gauche, car
da dk — db dh = (2 » — 1; du' , expression qui n'est pas nulle quel que soit /(. I.a gcnoiati'icc ii^~ est une génératrice exceptionnelle de la surface, le long (le laquelle le plan tangent est le même. Parmi les surfaces du (leusième ordre, le paraboloïde hyperbolique et l'hypcrboloïde à une nappe sont des surfaces réglées gauches.
Remarque. — Les surfaces développa blés ont en fous leurs points leur courbure totale nulle {rt — s^ = 0) , car le plan tangent en chacun de leurs points coupe la surface suivant deux droites confondues avec la génératrice de contact, comme dans les cônes et les cylindres.
- Les surfaces réglées gauches ont, au contraire, en chacun de leurs points leur courbure totale négative !^rt — s- < 0), comme il arrive pour l'hypcrboloïde à une nappe.
190. Heux surfaces réglées gauches ayant une génératrice commune sont, en généra}, tangentes en deux points au plus de cette génératrice ; si elles sont tangentes en plus de deux points, elles se raccordent le long de la génératrice. — Soient une surface engendrée par les droites
ot une deuxième surface engendrée par les droites
Supposons que ces deux surfaces aient une génératrice commune AB.
Le plan tangent à lu première surface, en un point M d'ordonnée ; [fig. 100), a pour trace sur le plan des :rij une droite \t' dont le coeHicicnt angulaire est
yGoosle
Lie, le plati tangent au même point ^[ à la tleuxièn ; trace de eoeillcient angulaire
Pour que les plans tangents en i\I aux deux surfaces coi dont, il ùnit et il sulUt que l'on ait m^m^ et, par suite,
:.db + dk zdb,+dl,-
zda + dh zda^-\-dh^ '
Cette équation étant du deuxième degré en " a, au plus, deux racines réelles ou imaginaires, à moins qu'elle ne se réduise \\ une identité; ce dernier cas se présente, si l'équatioiT est vôririéo par plus de deux valeurs de -.
Le théorème est donc démontré.
191. Application. Hyperboloïde de l'accoi-dement. — - On se sert de cette propriété, en géométrie deacvipûve, pour mener le plan tangent en un point M à une surface réglée. Pour cela, on
^ construit, comme il suit, un hyperboloïde qui a même plan tangent que la surface tout le long de la génératrice du point M. Soient A, B, C trois points de cette génératrice (fi^. 101) ; AA' une tangente à la surface au point A, BB' une tangente en B, CC une tangente en C. Considérons l'hyperboloïde engendré par une droite mobile s'appuyant sur les trois droites fixes AA', BB', ce : cet hyperboloïde a en commun y lui '"^'sc la surface la génératrice ABC; il a, de plus, même plan tangent que la surface aux trois points A, B, c. Donc il a même plan tangent que la surface tout le long de ABC. Pour avoir le plan tangent en M ii la surface, il suffit alors de mener le plan tangent i» l'hyperboloïde en M, c'est-àdire de construire la génératrice rectilîgne de l'hyperboloïde du deuxième système Mil' ; le plan tangent cherché est AMM'.
192. Cas particulier de deux surfaces réglées ayant même plan directeur. — ■ On dit qu'une surface réglée a un plan directeur, quand ses génératrices sont toutes parallèles a un même
APPLICATION. PLAN TANGENT AUX SURFACES RÉGLÉES 'il".
plan; ce plan se nomme plan directeur. On a alors le théorème suivant.
Si deu.T surfaces réglées gauches, ayant même plan directeur , ont une génératrice commune, elles sont tangentes en général en un seul point à distance finie sur cette génératrice : si elles sont tangentes en plus d'un point à dislance finie sur la génératrice, elles le sont tout le long de la génératrice.
En effet, nous pouvons toujours supposer qu'on ait pris comme plan des ys le plan directeuï commun aux deux surfaces. Les équations d'une génératrice de la première surface sont alors
et celles d'une génératrice de la deuxième
Dans ce cas, les quantités a et a^ sont identiquement nnlles et l'équation
zdh + dk .r(M, + f«,
qui détermine les ; des points de la génératrice comu^ut les surfaces se touchent, se réduit à l'équation du pri
ce qui démoiitre le théorème.
193. Point central. Ligne de striction. Paramétre de distribution. — Dans une surface réglée uu appelle point cpnlrid sur une génératrice le pied de la perpendiculaire commune à cette génératrice et à la génératrice infiniment voisine.
Le lieu des points centraux forme une ligne située sur la surface et appelée ligne de striction.
Pour étudier la distribution des plans tangents le long d'une génératrice, prenons cette génératrice pour axe Oz, pour origine le point central O, pour axe des .x la perpendiculaire commune OAii la génératrice 0; et à la génératrice infiniment voi-
3i4 COURS B'AK.iLYSE
sine AB {fig. 102). La droite AB étant perpendiculaire it Or
jection AR sur le plan ,rO; a pour équation
r le pl»„ j,0 =
,j ™ :. lang ,,
ec 0;. Dims ces équations, o et a désignent donc la distance de deux génératrices infiniment voisines, 0: et AB, et l'angle de ces g-énératrices. Ce sont deux quantités infiniment petites. On peut toujours choisir le sens positif de Oy de telle façon que S et a soient positifs.
Si l'on coupe la surface par un plan Q,
parallèle au plan des tij, rencontrant O^
et AB aux points M et M', le plan tangent
eu M est déterminé par la génératrice 0;
et par lu tangente en M à la courbe de
. Cette tangente est la droite MM', puisque M' est infini-
iisin de M. La trace horizontale Ot du plan tangent en M
ic parallèle il MM' : son cocKlcient angulaire est
f ét;uU les coordonné R, SCS coordonnées vci
!S du poiiit M', Ol', ificnt les équations
Les quantités œ et 5 étant infiniment petites, le rapport — — -^ — • a la même limite quc^, car —3.. . tend vers 1. Si donc on pose
yGoosle
lïïO.V, P/,.4.\' T.iXGENT AUX SURFACES RÉGLÉES
Ce eoellicicnt /, SLippctlc k iJiiriimèlre de distrihution lo long de 0;.
Surfaces gauches. — Si nous supposons que S et a sont des infiniment petits du même ordre, k est fini et différent de zéro. Le plan tangent en M varie, quand le point M décrit la génératrice; la surl'iice est gauche Au point central 0,
le plan tangent se conlond avec zOjc.
Quand le point M va de O à l'infini positif sur 0;, :■ varie de 0 il + X , m également; le plan tangent tourne donc autour de Oz depuis la position j^O; jusqu'il yO:-. Quand M va de O il l'iiifini négatif sur Oz, ; varie de 0 ii — so , m également ;le plan tangent tourne autour de 0; en sens contraire depuis ^0^ jusqu'à y'Oz.
Surfaces développables . — 11 peut se faire que S soit infiniment petit d'ordre supérieur à *. Alors le paramètre de distribution k
quel que soit - ; le plan tangent est le même tout le long de la génératrice 0.:^. Si ce fait a lieu pour toutes les génératrices de la surface, celle-ci est développable .
L'exemple le plus simple est un cône : alors h est rigonreiiaement nul, car deux génératrices quelconques se l'encontrent.
Il peut se faire aussi que a soit infiniment petit d'ordre supérieur Il S : alors k —■-'x. , et on a
quel que soit .:. Le plan tangent est encore le même tout le long de 0;. Ainsi, dans un cylindre, a est rigoureusement nul, car les génératrices sont toutes parallèles : donc /.■ = <».
