Recherche du maximum ou du i

une fonction des deux variables indépendantes .r et y, on dit que cette fonction est maximum pour j^ ^ a,y ^ ^, quand, itoiir Ionien les valeurs de x et ;/ voisines de a et b /•especlii'cment, on a

De même, la fonction est minimum pour.c==rt, ?/= /', quand, pour toutes les valeui-s de x et y voisines de a et b on a

Cherchons les conditions du maximum.

Pour donner îi .r et y des valeurs voisines de a et b, nous poserons :

où .(■' et '/' sont assujcLtis à rester voisins de zrro. Oii doit avoir alors

pour toutes les valeurs de .r', y' voisines de zéiio. Développons le premier membre parla formule de Taylor, en appelant/^, q, r,s, t les valeurs que prennent pour x^^a,y^= b, les dérivées partielles premières et deuxièmes de ^'(.r, y). Nous avons

(1) f{a + y , i + y') - f{a , />) =px' + qy'

+ -j {rx"- + 2 SX'!/ + '!/"■) +

Pour qu'il y ait un maximum, quand x=^a,y^b, il faut et il suffit que cette diiférence (1) soit négative pour toutes les valeurs de a^ et i/' voisines de zéro et qu'elle s'annnie seulement pour x'^O, y = 0. Pour plus cle symétrie, posons

x' = p cos -i, y = ? sin 'j,

MAXFUmT OU MINIMUM D'UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES 3fJ

étant ,nn angle quelconque et p une quantité positive ou négative assujettie il rester très petite en valeuv absolue. La différence (1) prend alors la forme

!2) 5(/.C0s» + .ysinï)

-\- -— c,^ Ir cos" V -{- 2 s coss siii s + ( siii" ■s)-{-

Pour qu'elle puisse conserver un signe constant pour toutes les valeurs de p voisines de zéro, et pour toutes les valeurs de a, il faut que p et fj soient nuls. Car, si p et q n'étaient pas nuls tous deux, ^j cos^ + ^ sin » ne serait pas nul, puisque a est quelconque, et, pour de petites valeurs de p, le terme du premier degré en p donnerait son signe il l'expression (2) : cette expression changerait donc de, signe avec p.

Ainsi j> et r/ doivent être nuls. Supposons cette condition remplie et admettons que i% s, t ne soient pas tous nuls, nous voyons qu'alors la différence (2) se met sous la forme

dans laqucllole terme en p-donne son signcpour les petites viileiirs de p. Pour qu'il y ait maximum pour ,r ^ n, y^b, il faut que le trinôme

/■ cos^ tp + 2 5 sin a cos a -f- ; sin' -f ,

soit négatif ^o\iv toutes les valeurs dea qui ne rannulent pas. 11 faut donc, en général, que le trinôme ait ses racines imaginaires ou égales et que son premier terme soit négatif.

Laissons de côté le cas des racines égales qui est un cas douteux. Alors il faut

rl — s'X), ;ivec

/■<0, nu i<0;

CCS deux dernières conditions s'entraînent évidemment l'une l'autre, car rt est positif. Les conditions ainsi trouvées

;Max.} /) = 0, <i = 0, n — 5'>0, /■<Ooui<0,

yGoosle

3i8 COVRS D'ANALl-SE

pomiiK! iiécessJiires, sont évÏLlemmeiit sLiflisanLps pour l'existence d'un maximum; car si elles sont remplies la différonco

fia + y,l + !l')-f(«,l'),

est négative pour toutes les valeurs de x' et i/ voisines de zéro. On trouve de même que les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence tl'uu minimum sont

(Min.) /^ = 0, '/=0, /■( — .v^>0, r>Ù ou />0.