Interprétation géométrique. — Considérojis la surface
où l'axe des z est supposé vertical. Chercher les maximu et minima de z revient a chercher sur la surface les points qui sont pins haut ou plus bas que les points infiniment voisins. Soit a, h, un système de / .■--'\. / valeurs A^ x ei y donnant uii maximum. Le
/- -\ point A correspondant de la surface est
plus haut que les points infiniment voisins /" '" {fig. 103).' Les conditions
c.\prjtnent qu'en ce point A le plan tangent est hovizoïital, car ce plan ayant en général pour équation
se réduit aetncllenieiit li
exprime, qu'au point A, la surface a une courlnire totale positive, c'est-à-dire qu'elle est, au voisinage de A,'d'un même côté du plan tangent. Enfin
signifie qu'elle est, au voisinage de A, "au-dessous du-plan tangent
MAX/ML-M OU MIXnirM DT.yE fO.\CTIOA DE DEUX rARIAIlLES Sig
en A. Toutes eus conditions sont ôvidenles a priori par lii géoiiictric.
196- IvMiîii'LE. — Soit il chercher les maxima et minini;i de la
Calculons p, <j, r, s, i :
p = !j{.T + y 1; + u-ij, >/=a-(.r -+-;/ — i; +.r//.
Commençons par cherche!' les valeurs de x et ij qui iiniuilent p et q : nous aurons à résoudre le système
(jul donne, par soustraction,
Prenons d'iibord )/ — .i = 0 ; noas trouverons, en portant dans les deux équations,
(II) ,r = 0, 11 = 0.
prenons ensuite :>-\-il — 1=0, nous aurons île même deux systèmes tie solutions
(III) .r = 0, j »^ I .
(IV) ,r = I, j, = 0.
On a ainsi quatre couples de valeurs de x et y, annulant y) et q. 11 faut maintenant voir, successivement, quel signe chacun de ces couples de valeurs fait prendre à rt — s'-.
On a
yGoosle
Le couple (r, .1'=^-^).'/^=^' 'l"ii"i^
couple coriospond un
Los uutros coupk-s ;il), (III}, (IV) dounr-nV tuu> ri — .v=<0;
Is ne correspond eut doue ni il un iiiii\Liiiuiii lu :i iiu niinimLini. 197- Remarque sur le cas ;■/ — s- = 0, — Lorsipie, pour
siuis que /■, .S', / soient imis tous trois, iinns avons dit qu Cela tient à ee que, dans l'expression de la différence
est iilors un crin-é parfait. Ce trinôme conserve donc un signe constant, excepté pour lu valeur o^ de » qui l'annule. Si donc on attribue à » cette valeur spéciale, le signe de la différence dépend des termes suivants du développement, termes qu'il faudra étudier dans chaque cas particulier.
Kxi;iii'Lii 1. -— Prenons, pur exemple, la l'onction
MAxiMCM OC Mr.vniVM r/rxE roxcr/ox de deux variaii!-es ^'ii Actuellejiient,
Donc/J et y s'annulent pour t= 1, i/^ 1 ; la viilonr correspondante de la fonction est
De [ilus, cil en point ,( = 1, //^ 1,
ri — .■ = 0,
Nous allons voir que la fonction n'est pas minimum. Pour Tétii- Jier dans le voisinage des valeurs 1 et 1, employons la luélhode générale : faisons
=.f-(cos-f-sin=,)' + f'si„>j.
Tant que 'f n'a pas une valeur particolièro telle que
cos --ù — sin 3 ^0, tang-^ = i.
la différence est jwsitii'e, pour de petites valeurs de ^, car le premier terme donne son signe. Mais, pour tang a = 1, la dîÊFérence prend le signe du terme p'sin^y : elle change de signe avec p et, par suite, ne conserve plus un signe constant.
Donc, dans le voisinage de ^ = 1, t/::^!, la différence
/■(i+,r', i+jT-ni,»)-
ne conserve pas un signe constant quels que soient is et p ni maximum ni minimum en ce point.
