Equation de l'enveloppe. — Soit
l'équiitioii d'une couibe plane C conteiiaivt un piiiamttie Quand /, varie d'une manière continue, cette courbe se déplace d'une niauièi'e continue.
Oiidit qu'elle admet unee«('e^o/j/je, quand il existe une courbe K ii laquelle les courbes C sont toutes tangentes. Les courbes C sont les e/ifelo/jpées.
Soit [fif^K :104), M [.r, y) un des points de l'enveloppe et '
l'équation de l'enveloppée C qui toucbc l'enveloppe E en ce point. Le coedicient angulaire de la tangenle à l'enveloppée est donné par
OÙ dx et dtj sont les projections d'un élément d'arc MM' de l'enveloppée.
Pour avoir le coeiïlcienl angulaire de la tangente \\ l'enveloppe au même point, remarquons que, le long de l'enveloppe, les coordonnées X et ij du point de contact M sont fonctions de î.,
car le point de coiictiii't M est déterminé quand "/. est d(nim-. Ces fonctions de ). vérifient identiquement lu relation
Quand on lait croître A de sa difFérentielle dl., les coordonnées du point de contact M croissent de leurs différenlielles d^œ et d^y, et, comme f-x, y, 'l.) reste nulle, sa diPTérentiello l'est; ou a donc
Géométriquement, d^.r, d,i/ sont les projections d'un élément d'arc MM, de l'enveloppe E. Le coefiîcient angulaire de la tangente à l'enveloppe en M étaut égal à celui de la tangente ii l'enveloppée, on doit avoir
dy '/,//
Les équations (1) et '2' doniioiil: aliira :
Donc les coordonnées du point do conlacl ÎNI vérifient les deux relations
En éliminant /, entre ces deux équations, on a l'équation de l'enveloppe E, quand cette enveloppe existe.
Réciproquement, soit E la courbe dont l'équation est obtenue en éliminant ). entre les deux relations (3), en tout point .r, y de cette courbe, qui n'est pas un point singulier de l'enveloppée correspondante C, la tangente est la même ii E et à C. En effet, comme, au point considéré ~J-=:0, les équations (1) et (2; donnant les coeflicients angulaires des tangentes aux deux courbes C et E au point x, y sont
KSVKLOPPE a't'.Vi' l'.tMILf.E DE COCIIBE-J l'LAXJiS Sj)
Si Aiet-^ ne sont pas nuls ii h\ l'ois, c'est-ii-dire si la point (.r, y) n'est pas un point singulier de l'enveloppée
dit ''JL
ce ([ui démontre le théorème.
En résumé, la courbe obtenue en éliminant À entre les deux relations (3) est ou bien l'enveloppe des courbes
ou le lieu de leurs points singuliers.
Hemaroie, ■ — ■ liliminer '/. entre les deu>; éqniitions
revient à exprimer ([iio réquation f ,r, i/,'/J' ^0. en /., admel une racine double.
199- Xe point de contact de l'enveloppée C avec l'enveloppe E est la limite d'an des points d'intersection de C avec une enveloppée C infiniment voisine. — l^n effet, réc|uation de C est
celle d'une enveloppée voisine C
Les points d'intersection de ces deux courbes sont donnés par le système des deux équations (C) et (C), ou par le système équivalent
Quiiiul AÀ tend vers zéro, ce système devient précisément le sys-
'ii6 coins D' ANALYSE
tème (3) c[ui définit les [loints de contact de l'eiivel(>p[iéc iivce l'enveloppe E. Le théorème est donc démontré.
200. Exemple I. Enveloppe d'an cercle de rayon constant It dont le centre décrit une courbe donnée. — Soient « el h les coordonnées dn centre P dii cercle (fig. 105) ; ce point deiant décrire une courbe donnée HII', a cA b sont des fonctions données d'un pjiriinictve /
L'étpiation du cercle mobile est
ulor?
- IV^ r= 0.
R étant constiint. Pour avoir les points de contact jM et M' du cercle avec l'enveloppe, il faut associer à l'éqnation du ceicle l'écpration obtenue en dérivant par rapport à ),
iP>
db
Si, dans cette équation, on regarde x et y comme des coordonnées courantes, elle représente une droite passant par le poin1 P(«,i) et normale à la courbe Mil' lieu du pointP. Les points do contact du cercle avec l'enveloppe sont donc aux extrémités du diamètre MPM' normal il la courbe lieu des centres. Les points de l'enveloppe s'obtiennent encore on portant sur la normale en P deux longueurs égales à R
