I. — NOTIONS GÉNÉRALES. — FORMULES
233- Coarbure. — Nous avons vu comment, dans une courbe plane, ridée de la courbure se trouve Hée à h» variation de la direction de la tangente. On étend cette idée aux courbes gauches. Si la tangente h une ligne dans l'espace conservait une
direction fixe, cette ligne serait courbe parce que la tangente change de direction, et il est naturel de mesurer la courbure par la variation de la direction de la tangente. On définît la courbure d'une courbe gaucho de la façon suivante.
Soit une courbe gauche, sur laquelle on a choisi un sens positif pour les arcs s [fig. 122), et soit M( la tangente, menée dans ce sens. En géométrie pla
ne droite
1 peut évÉ
r la vai'iatioii
continue d'une direction, en menant par le centre d'un cercle de rayon 1 une parallèle à cette direction et évaluant la variation, de la longueur de l'arc découpé par cette parallèle sur la circonférence. Dans l'espace, pour évaluer la variation continue de la direction de la tangente M(, on considère une sphère de rayon 1 et de centre 0; on mène, par le centre, un rayon OA parallèle à Mt. Quand le point M décrit la courbe gauche dans le sens des arcs positifs, il partir d'un point M, la droite OA décrit un cône
iippelo own(! (lirecleur des tangentes (N" 16'ij, et rextrémilô A (lu rayon OA décrit, sur la sphère, une courbe A^A, dont nous désignerons l'arc par t, en prenant comme sens positif de ff le sens A|| A, Ou peut dire que cet arc t mesure la variation continue de la direction >\c la lanf>enlc depuis Ui position M,/„ jusqu'à M;.
Courbure moyenne d'un arc M^f,. — Sur la courbe jraucbe, faisons croilrc a de As; le point M se déplace et vient en M, de telle Taeon que
As = arc MM,;
la tangente passe de la position M; à M,/j et, sur la spbère, le point A se déplace jusqu'en A,, l'arc s de la courbe sphcrli|ui' augmente de
On appelle, par analogie avec ce qu'on a vu pour les courbi-s planes, courbure moijpnnp de l'arc M\l,, le i'apport
Courbure en un point, ^ La courbure, au point M, est la limite vers laquelle tcud la courbure moyenne de l'iiic MM,, quand cet arc tend vers zéro. On a donc ;
courbure en M^^^ hm— — =— ^-■ A,s' as
Le rayon do courbure R, en M, est riiiversc de la courbure; donc
Cette quantité R est positive,
REMAiiQUE. — Kii désignant par t l'angle des deux tan-
g'entes M^ et M/,, angle qu'on appelle angle de conli/igence, on peut dire aussi que la courbure, en M, est la limite du rappoil
COI llliriu: ET TORSION. FORMULEE ^7^
ijiiiind Mj IciilI vers M. l'.ii effet, l'angle ï des deux tangentes Ml et Mj /, est égal à celui do leurs parallèles OA et OA, : il est donc mesuré par l'arc de grand cercle joignant les extrémités A et A| de l'arc de la courbe sphérique At. On en conclut
que le rapport tend vers .1, ([uand J\I, tend vers M et, par
suite, A, vers A. V.u cITel:, im ]ii?iit (■crim
Ai- At corde AA,
Comme le rapport de l'arc At ii sa corde tend vers t, et que, d'autre part, le rapport do l'arc de grand cercle AA,, ou £, à sa coi'de, tend vers 1 , on a bien
ont donc mémo limilo. et l'on a :
c,„„l,„»o„M.li,n^.
234. Torsion. — Dans une courbe plane, le plan osculaleur est fixe tout le long de la courbe, puisqu'il se confond avec le plan de la courbe. On peut dire également que, dans une courbe plane, la direction de la binornialc, perpendiculaire au plan osculaleur, est la même tout le long do la courbe. Réciproquement, on démontre (X" 250) que tonte courbe, dans lacjuelle la biiiormale aune direction fixe, est plane. On peut dire qu'une courbe est gauche parce que la binormale change de direction, et il est naturel d'introduire, pour les courbes gauches, un deuxième élément caractérisé par la variation de direction de la binormale, comme la courbure est caractérisée par la variation de la direction de la tangente.
Ce nouvel élément est la torsion.
Soit MN' la binormale, en M, à la courbe gauche. Nous choisirons plus loin un sens positif sur cette binormale : mais, pour le moment, MN" est simplement uno perpendiculaire indéfinie au
^74 COURS D'ANALYSE
pian. osculiiLeur. Pour évaluer la variation coiilimie de la direction MN" (|uand le point M parcourt la courbe, de M„ en M, nous mènerons, commë'fouf^ l'heure, par le centre 0 de la §phère de rayon 1, une parallèle ii MN" : soit BOB' le diamètre parallèle à la droite indéfinie MN" [fig. 122). L'extrémité B de ce diamètre, suivie par continuité, part d'une position B„ truand M part de M„, et décrit une courbe sphérique BoB, dont nous appellerons l'arc T, en convenant de compter cet arc positivement dans le sens B^B. En même temps, le point B' décrit un arc B'j,B' égal il T, dans le sens contraire.
Torsion moyenne d'un arc MMj. — Siu- la courbe gauche, Taisons croître s de As; le point M vient en M,, de telle façon que
As = arc MM.;
la binormale passe de la position MN", a la position MjN^ i cL, sur la sphère, le point B se déplace jusqu'en B,, l'arc ■: de la courbe sphérique augmente de :
A^ = arcBBj.
On appelle alors tomion moi/enne de l'arc MM,, le rapport
quantité positive.
Torsion en un point. — La torsion, an poinl M, est la limite vers laquelle tend la torsion moyenne de l'arc MM,, quand cet arc tend vers zéro. On a donc
