II V
torsion enM^lim — .^— 7— ■ A.s' ds
Le rai/on de torsion T, en M, esl, par définition, l'ii a torsion; donc
Celte quantité T est positive.
COinitLRE ET rORSIO.V.
Remahql]!. — ■ En désignant par Vi l'angle des dcnx Lim UN" et M, Nî', on peut dire aussi que la torsion, en M
limite du rapport
is
est la quand M, tend vers M. En effet, l'angle r,
des deux binormales est mesuré par l'arc de grand ccrelc de îa sphère joignant les extrémités, B et B,, de l'arc de courbe sphériijiic \-:. On en conclut que le rapport
corde BB
"r, corde Bli, a,
U'iiiX vers 1. quand M, Icnd vers M, et, par suite, qne les
235- Propriétés g-éomètriques des courbes ï et t. irriver, d'une laçon simple, ans formules donnant la cou iiarques géon
■bur<
et
la torsion, nous ferons d'abord quelques snr les courbes (t et t ; ces remarques nous permettront de définir le sens positif de la binornialc et de la normale principale.
Soit AF la tangente à la courbe sphérique t, dans le sens des t positifs. Celle droite AF est parallèle à la normale principale MN' {ftg. 123). En effet, le cône, engendré par les droites OA, est le cône directeur des tangentes a la courbe : le plan tangent OAF à c
osculateur en M à la courbe (N" 164). La droite AF étant i un plan parallèle au plan osculateur et étant perpendiculaire à la droite OA parallèle à M/, est parallèle à la normale principale MN'. Nous choisirons, comme sens positif sur la normale principale, le sens de AF : nous verrons, plus tard, que la partie positive MN' de la normale principale, ainsi définie, est la partie qui se tiouve dirigée vers la concavité de la courbe en M. Passons
i cône est pi
rallèle .
yGoosle
37ii coins ij'A.\Ai.ysi;
inuinteiiaiil au fùiie eiigfiridn; par les parallèles B'OH aii\ bîiiormales et aux courbes sphéiîques, lieux des points B et B' : nous mènerons à ces courbes les tangentes BII et B'Ii', dans le sens dans lequel chacune d'elles est décrite. Comme le plan tangent OAF au cône o est parallèle au plan oscillateur on M, la droite B'OB, parallèle à la binormale, est perpendiculaire au plan OAF. Ainsi, on obtient le cône décrit par les droites B'OB, en prenant les perpendiculaires élevées par 0 aux plans tangejils OAl'" du cône o".
Le cône ainsi obtenu, ou cône t, est dit supplémentaire du cône a. Il est aisé de voir que, réciproquement, le cône -: est supplémentaire du côneu, c'est à-dire que la génératrice OA est perpendiculaire au plan tangent OBH du cône t. En effet, soient OAF et 0A,K,, deux plans tangents voisins du cône v : ces deux plans étant perpendiculaires aux génératrices OB et OB, du cône t, leur intersection 01 est perpendiculaire au plan BOB^. Quand OA, tend vers OA, l'intersection 01 des deux plans tangents tend aussi vers OA, le plan BOB, tend vers le plan tangent OBII au cône -,. Comme le plan BOB, est perpendiculaire à 01, le plan tangent OBII est perpendiculaire à la limite de 01, c'est-ii-dire a OA.
D'après cela, les tangentes AF et BII aux courbes sphériques aeti sont parallèles : en effet, AF est perpendiculaire au rayon OA de la sphère et ii la droite OB perpendiculaire au plan OAF; donc AF est perpendiculaire au plan AOB . On voit de même que BII est perpendiculaire au plan AOB. Ces deux droites soni donc parallèles. On peut toujours supposer que ces deux tangentes AF et BII sont parallèles et de même sens, lin efFet, nous avons mené les deux tangentes BIÏ et B'II' aux deux courbes sphériques, lieux des points B et B', dans le sens où chacune d'elles est décrite. Les deux points B et B' étant symétriques par rapport à 0, ces deux tangentes BII et B'II' sont parallèles et de sens contraires. Comme elles sont parallèles à AF, l'une d'elles est de même sens que AF, l'autre de sens contraire. Xous supposerons qu'on ait appelé B celui des deux points B ou B' qui décrit la courbe -: dont la tangente est de même sens que AF.
Cette convention détermine le sens de la demi-droite OB ; c'est ce sens que nous choisirons pour sens positli' de la binormale MX".
yGoosle
Les ckuN; f.Linf>piiifs \b' et liU siint doi-s piirallMes, de même sens, et parallèlfs ;i la normale pcincipule MX'.
