NOU

ccr,

;,■„„, k, p,cm

ièrii de ces iVirmi

.les

Mais, d'après la derniitLOii de la torsion et eu désignant par T le rayon de torsion, on a

T ~ £/s ' d'où

On transforme, de même, les deux autres i'ormnles et ou a

«; ^ ^ df i

T ' dB ~ t' dt ~ t'

'41 iL—^. <i?" ^

COUnniRE ET TORSlO.y. FOR.MVLE.'i ^79

Élevant ces relations au cari-é el ajoiitiiiit, on a

Nous avons ainsi les dérivées de a, [i, Yj «"> ?"i y"i P'"' ™Ppo''t à l'arc s. Pour compléter le tableau des formules, il reste ii calculer les dérivées de «', ^',y par rapport il s. Oi', enlre a, k',. a", a Heu la ï dation

car a, a', a" sont les cosinus des angles que fait la direction Ox avec les arêtes du trièdre trirectangle M /, MN', MN". DifFérentiant cette relation par rapport à s, on a

(/s rt,V rtS

(/s ds

On trouve, de même, deux autres formules en remplaçant a par ^ ety; •!*' cpii donne le nouveau groupe

Élevant CCS ioijimlos au carré cL ajoutaiil,, ou tenant i des relations

3Hu COURS D'ÂAALrSE

Tel L-st l'eiiseniblc tics rormuJcs roliitivcs il la .'(nirJniiT; et il In torsion dos oixirhos •^iiiiches.

237 ■ Usage de ces formules pour le calcul de \i et 'i'. — Sî

Le signe du radîcul dépendvii du sens clioîsipowr les yres positifs. Par exemple, si on coii\-ieiit de compter les arcs s dans le sens dans lequel se déplace le point x, y, ;, quand h croît, ds et du sont de mêmea signes, le radical est pris positivement.

Les cosinus directeurs de la tangente a, (5, -' sont alors donnés par les rorinulos

<ls i/r's | ,j'2 | ^"- ' ' (h ' ' ih

ce sont diiiic des fonctious connues de ii. Les f(irniules

'a ' Il ' li

,n a, p.r les W

et^^ en lonctioii de it. Kiu

Ty-, V-'Tji- el-TTT en ioTictiiu! de ;/, Ou eu déduit les ci.sluu

directeurs a.", p'', y" de la binormale eu l'onction de n.

On a, ainsi, tous les éléments de la courbe, au poiiil M.cxpri mes en fonction de u.

m l'uiinait le jiluii oaculalenr, on cou ireiïlemeiit a".^''.-;" nii iV.nclioii c!c » et on peut calcnier 7/, ^',-

par les formuler

Us T '

V(^)vmM^)-

238. Remai-que sur le cas particulier où * est pris comme variable indépendante. — Si l'ave n est pris comnu: viiviaMc iiidépeiidanto, (/■-* = 0, ou a alors ;

R^ V 'h' / ^\<-/nV ^V(foV

Muis cette ['(n'iiiulc simple ne s'appli(£UC que si s est la variable indépendante, cas <[ui se présente rarement. Dans le cas génél'al, où la variable indépendante serait quelconque, on aurait

a' '/ce dsd'.

rf.v''

Les quantités -^,-j^ seraient aie

,rs données pa