RT

en divisant le numéroteur et le cléiiominuleur piir s^ et fai tendre ensuite s vers zéro, on trouve

lin

ce (rul démontre la proposition ijue nous avions en vue.

Nous conclurons facilement de ce résultat le suivant, que nous avons déjà établi pour les courbes plimcs :

Le cercle de courbure, en un point 0 , d'une courbe, est la limite d'un cercle langent en 0 à la courbe et passant par un point M infiniment voisin de 0. En effet, soit 0^ rintersection du plan OPM avec le plan des i/.z; le centre C d'un cercle tangent à O.r et passant par M, se trouve sur 0^. Appe- '*''■ '^'' Ions R' le rayon de ce cercle et M' le

point où PM rencontre ce cercle ; on a

ÔP' = PMXPM'; mais PM' est égal à 2R' — PM; donc

ÔP' = PM(2R'— PM), „, PM , oF'

Quand M tend vers 0, ic plan OPM tend vers le plan oscula-

ETUDE D'UAE COUIIBE GAVCllE EN UN POINT 4o[

teur xOij au point 0, Oy' tend vers Oy, le centre C tend vers un point C„ de 0// et le rayon R' tend vers le rayon de courbure R , car, dans la formule donnant R', PM tend vers zéro.

2PW " "'

Le cercle considéré tend donc vert

;rclo de coiirbnrc en 0.

Remarque. — De même que dans les courbes planes, le cercle osculiiteiir, en un point 0, est la limite vers laquelle tend un cercle passant par le point O et pur deux points de lu courbe infiniment voisins de 0. Xous nous bornerons à énoncer ce théo-

254- Différence entre un arc et s a. corde. — Soit, comme plu; haut, s l'arc OM supposé infiniment petit; nous allons évuluei la différence

iu-eOM— corde OM.

Ov, on V

en remplaçimt ,r, y, ; pai- les développements pi" 251), ordonnant piir rapport à s et se bornant aux termes en s', on a

Développons la parentbèse par la formule du binôme, nous corde OM^sfl-

d'où enfin

arc OM -

)rdeOM-

Cette différence est donc du troisième ordre d'iiifwiLment pt par rapport à s, et sa partie principale est ,■,, ^- ■