V. —DÉVELOPPEMENT D'UNE SURFACE DÉVELOPPABLE SUR UN PLAN

256- Figure schématique d'une courbe gaacîie. — On peut se représenter une courbe gauche comme un polygone gauche

ABCDE d'un nombre infiniment grand de côtés infiniment

petits. Les tangentes sont alors les prolongements des côtés BB',

ce, ; les plans osculateurs sont les plans de trois sommets

consécutifs ABC, BCD, etc.; les cercles de courbure, les cercles passant par trois sommets consécutifs ABC, BCD

257. Une surface développable peut être exactement appliquée sur un plan. — C'est cette propriété qui est l'origine du nom de surface développable : l'opération qui consiste a. appliquer la surface sur un plan s'appelle le développement de la surface.

Pour démontrer cette propriété, nous généraliserons le mode de raisonnement employé, dans les éléments, pour développer les cônes et les cylindres.

Considérons Tarète de rcbroussement comme un polygone ABCDE... d'un nombre inliniment grand de côtés infiniment petits. Les tangentes successives ii l'arête de rcbroussement sont les prolongements des côtés du polygone ; une première tangente est ABB', une deuxième BCC, une troisième CDD', etc.... Les tangentes définissent une surface polyédrale dont les faces sont' les angles y\b. iJm.

B'BC',C'CD',D'DE',... que nous numérotons 1,2,3,.. [fig. 132). Cette surface polyédrale a pour limite la surface développable, quand le polygone ABCDE... devient une courbe. On peut développer, sur un plan, cette surface polyédrale de la façon suivante.

Faisons tourner le plan de la face 1 autour, de BCC, de façon à l'amener dans le prolongement de la face 2. Faisons ensuite tourner l'ensemble des faces 1 et 2 ainsi obtenu, autour de CDD',

^o.'l COURS D'ANALYSE

jusqu'à ce qu'il so place dans le prolongement rlo l;i lace ?>. Puis, faisons tourner l'ensemble des faces 1, 2 et 3 ainsi obtenu, autour de DEE', jusqu'à ce qu'il se place daiis le prolongement du plan de la face 4i et ainsi de suite... Nous arriverons finalement à mettre toutes les faces de la surface polyédraiè dans un même plan, et nous aurons ainsi réalisé le développement de la surface sur un plan.

258. Qua.ncl on applique sur un plan une surface àéveloppable,le rayonde courbure, en un point de l'arête de rebrousaement, ne change pus. — Pour démontrer ce théorème, remarquons que, dans l'opération que nous venons de faire pour développer la surface polyédraiè, dont les faces sont 1, 2, 3,.., les côtés et les angles du polygone ABCDE... restent les mêmes. Pour les côtés, la proposition est évidente. Pour les angles, quand on amène, par une rotation autour de BCC, la face 1 sur le prolongement de la face 2, l'angle ABC du polygone ne change pas, car le côté AB, tournant autour de BC, décrit nn cône de révolution d'axe BC. De même, quand on amène les faces de l'ensemble 1 et 2, ainsi obtenu, à coïncider avec le prolongement de la face 3, par une rotation autour de CDD', l'angle BCD ne change pas, et ainsi de suite... Il résulte de là, que les rayons des cercles, passant par trois sommets consécutifs du polygone ABC, BCD,... ne changent pas. Quand les côtés du polygone tendent vers zéro, le polygone devient une courbe et les cercles, passant par trois sommets consécutifs, deviennent les cercles de courbure aux différents points de la courbe. Comme ces cercles ne changent pas dans le développement, le rayon de courbure, en un point de l'arête de rebroussement, reste inaltéré dans le développement.

259. Application. — Le théorème précédent donne un moyen de voir ce que devient l'arête de rebroussement d'une surface développable, quand on développe la surface.

Pour cela, on prendra un point 0' comme origine des arcs, O'M = s, sur l'arête de rebroussement, et on calculera l'expression du rayon de courbure R de l'arête, en un point quelconque M, en fonction de l'arc s :

Par le dévoloppe] courbe plane to'^, u étant devient le point M. La courbe pli que l'arête de

DEVELOPPEES

l'arête de rebcousseiiient dei devient le point 0' et

. ce que 11- d'arc

it = .(.;.

Pour trouver la courbe (oja, on est doue i courbe plane, connaissant le rayou de coi

rlïure

en fonction de l'arc, problème que nous avons résolu au n° 232,

Par exemple, si l'arête de rebroussenient est une hélice circulaire, R est constant (X° 241); donc, par le développemcntde la surface dévelop- ^.^ pable formée par ses tangentes, l'hélice circulaire se transforme en une courbe plane ai/aiii un r-ai/on île consUinl R, c'est-ii-dire en un cercle de ravon U.