VI. — DÉVELOPPÉES

260. Développées. — Considérons une courbe quelconque, plane ou gauche C, et menons-lui une suite de normales formant une surface développable, c'est-ii-dire admeitant une enveloppe. Cette enveloppe (arête de rebroussenient de la surface développable formée par les normales considérées) s'appelle une développée de la courbe.

D'après cela, une courbe a une infinité de développées. En effet, prenons arbitrairement une normale M„^'u au point M^. Au point voisin M,, on peut mener une normale M^N^ rencontrant Mj,X|, en un point Xj ; il suffit, pour cela, de joindre M, au point Xj, où le plan normal, en M,, coupe M„N„. De même, au point M,, voisin de il,, on peut mener nue normale MjNj rencontrant M, N, en un point X„... etc., et ainsi de suite. On obtient, de cette façon, une surface polyédrale dont les arêtes, constituées par les pi'o-

-lod COURS D'ANALYSE

longemenîs des côtés du polygone XjN^XjNj..., sont toiUes normales jt la courbe.

Si on suppose que les points M„,Mj,M,,Mj, ... se l'approchent indéfiniment, celte surface po- Ijédrale devient une surface développable , dont toutes les génératrices sont normales à la courbe; le polygone KyNjNjNj... devient l'arête de rebrousse ment de la surface développable, jj, c'est-à-dire une développée de la courbe.

On a donc ainsi une développée tangente à aie initiale M,,N,, arblLraii'cnieut choisie.

261- Propriété fondamentale des développées . — Considérons une développée D^ de la courbe C ; soit MM, une normale h C, en M, tangente à D,, en M, [fig. 135). Désignons pur / la longueur de cette nor-

lale

et par s^ l'arc de développée O^M,, compté i» partir d'une origine fixe 0,, de telle façon *' '"" que la tangente M, M soit menée dans le

sens des arcs s, positifs. Soit M'|iVI' une normale infiniment voisine àC tangente ÙD,, en M,, l-\-dl\s. longueur de M',M'.

IV'après la formule générale donnant la différentielle de la longueur d'un segment de droite (N° 163), on a

dl =— MJr cos ]\ï^l, — M,M',cos lsVM\l.

^vmK,-

■ MjiM est tangente à la développée D, ; M.M', = (/«,.

leàMM';cosM'jM,M = l,

Intégrant et désignant par c une constante :

yGoosle

DEVELOPPEES 417

Donc la somme de M^M et de l'arc O.ÎM, est constante. Lu développée étant supposée connue, on peut tracer mécaniquement la courbe G en prenant un fil inextensible de longueur c, attachant ce fil en O, et l'enroulant partiellement sur la développée de O, en Mj, en le maintenant tendu de M, en M. L'exlrcmité M du fil décrit la courbe C.

262- Théorème. La normale principale à la développée, au point Mp est parallèle à la tangente enM. à la courbe.

Pour démontrer ce théorème, appelons 3r,,!/,,s, les cordonnées du point M, et convenons, d'une façon générale, d'affecter de l'indice 1 toutes les c[uantîtés relatives à la développée. Ainsi s, est l'arc de développée ; a,, Pi,"i, seront les cosinus directeurs de la tangente MjM à la développée, a|, pi, yl , les cosinus directeurs de la normale principale à la développée, R^ le rayon de courbure en Mj.

Les cordonnées du point M étant égales à celles de M,, augmentées des projections du segment M, M sur les trois axes, on a, puisque M,M=Z(/ïg. 135;,

Ces formules dlfféreiitlées donnent (1) dj;-^dx,-^^.,dl^ld<y.^,...;

mais on a, pour la courbe C,

d.£^0Lds, di/ ^=pds, dz = yds, et, pour la développée,

da; = y.,ds^, d;/, = '^,ds„ dz^=y,ds„

"'-ds,.

Les formules (1) deviennent donc

ads = 3,((/s, + (^Z) +^-ïT- ds^,...

COURS D'ANALYSE

, d'apvcs hi prdpt'iété fondamentale de la développé*

(2) af/s =

Ces l'ormules montrent que a',, ^'„'['„ cosinus directeurs de la normale principale à la développée en M^, sont proportionnels à a, p, Y) cosinus directeurs de la tangente en M à la courbe. Le théorème est donc démontré.

REMAnguE.

extrayant la i

Faisant la ine carrée <

omme des I résultat.

chttions (2) et

Si on considère deux développées 1), et D, d'une courbe C, les tangentes MM, et ÎNIM^ à ces deux développées se coupent sous un angle constant, en M, tout le long de la courbe C. — En effet, appelons "i' ?i' ïi ^^ ^ii Pi' Ti '^^ cosiTiiis directeurs des tangentes JV1,^I et JI^JM aux deux développées, s, et Sj les arcs, R, et R, les rayons de courbure des deux développées, et a, ^.yles cosinus directeurs de la tangente }\lt, au point M, à la

ourbe C ifig. 136).

L'angle (i des deux

; ini, et ilM, est doj

R par

DiiFérentiant, on a :

— sin9t/9 = v7«, + ii,^?,-

yGoosle

développé,

DEVELOPPEES (og

formules de Frenet appliquées aux deux

iK-