Courbes planes

irhe plane poi

a déve-

4io COURS D'ANALTSE

loppée située dans son plan ; elle possède, en outre, une infinité de développées, dans l'espace, qui sont des hélices tracées snr le cylindre droit, ayant pour base la développée plane.

Développée plane. — Les normales à la courbe, situées dans le plan de la courbe, ont évidemment une enveloppe qui est la développée plane. Le point de contact M d'une de ces normales avec la développée est le centre de courbure M^ de la courbe donnée, relativement au pied M de la normale. En effet, ce point de contact M, est le point de rencontre de deux normales infiniment ■voisines, c'est donc (X" 224) le centre de courbure. Ainsi la développée plane d'une courbe plane est aussi le lieu des centres de courbure de la courbe. Le tracé de cette courbe donne donc la représonLiition grapliiquc do la variation du rayon de courbure.

Exemples. Ellipse. — Soit relllpse, rapportée à ses axes.

Les coordonnées d'un point M [x, y] de la courbe, en fonction d'un paramètre ii, sont

L'équation de la normale à l'ellipse, au point il [x, y), est

{\-x)dx + ÇÎ-y)<hj = G,

— (X — ocos „) «sin« + (Y— è sin u) h cos n=.0,

ou enfin, en remplaçant»* — A^ par (;* et divisant par cosfisinw,

Pour obtenir le point de contact de cette droite avec son enveloppe, il faut associer à l'équation précédente sa dérivée par rapport au paramètre m :

aXsinu /iYcosh „