DÉVELOPPÉES

Kn résolvant ces deux équations par rapport ii X cL Y, on a les coordonnées du point de contact M,. c'csL-à-diio du centre de courbure de l'ellipse, relatif au point M. On trouve ainsi

(>IJX =

Qnund « vai'le de 0 li -^, le point M,

décrit un arc de courbe, situé au-dessous de Ox, tangent il Ox au point C "■ -■ (X=— , Y^O) , qui est le centre de courbure relatif a

met A, et tangent à Oi/, au point D lX=^0, Y = ^1 ,

le centre de courbure relatif à B.

On achève ensuite la courbe par symétrie.

Cycloïde, — La cycloïde est engendrée par un point M d'une circonférence, de rayon a, roulant sur un axe fixe Oj:.

Supposons que le point qui décrit la courbe parte de 0 : alors.

quand le cercle roulant est dans une position quelconque, on a, en appelant I le point de contact, 01 ^ arc IM.

Quand le cercle roulant a fait un demi-tour, le point M est au point le plus haut F de l'arc de courbe et le point de contact est en E à une distance OE ^= î:«, égale à la demi-circonférence roulante.

Ceci posé, la normale en M est MI et le centre de courbure M^

s'obLÎent en prciiiint 1M| = 1M (X''221). La développée est le lien du point M,.

Prolongeons FE d'une longueur EO, ;^= 2 « ^ FF. et menons par Oj une parallèle 0^ a\ à Ox: Puis, considérons le cercle symétrique du cercle ronlant, par rapport il Ox ; ce cercle touche 0, t^ en un point I,; il passe évidemment par M,, Nous allons montrer que

;trcijM, = Ojl,.

En cilet

= El --=0,1,.

L'arc IjM, étant égal à 0, I,, on peut considérer le lieu du point Mj, comme décrit par un point d'une circonférence IiM,!, de rayon a, roulant sur 0,.r|. Quand la circonl'érence 1MB roule sur Ox, la circonférence I[Mj I roule sur 0,.t^ dans le même sens, et, quand M arrive en F, M, arrive en O,; le mouvement continuant, M va de F en Oj et M, remonte de O, en 0,. La développée de la cycloïde OFO, est donc formée des deux moitiés d'une cycloïdc égale à la proposée, l'arc OM, 0, étant égal à EO, et l'arc 0, 0, à OMF; ces deux arcs sont d'ailleurs égaux entre eux.

265. Développées dans l'espace d'une courbe plane. — Soit une courbe phnic C, sa développée plane D^, et une développée gauche Dj. D'un point M de la courbe partent deux normales, l'une 5IM| tangente en M, à la développée plane D,, l'autre MM^ tangente en M, à la développée Dj.

jTjg |jj Tout d'abord, la projection de D^

sur le plan de la courbe coïncide avec D|. En effet, la projection de la normale MM^ se fait sur MMj ; si des droites sont tangentes ii une courbe dans l'espace, il est évident que leurs projections sur un plan sont tangentes a la projection de la courbe ; actuellement les droites MMj sont tangentes à D,, leurs projections MM, sont donc tangentes à !a projection deD^. Ainsi D, est la projection de D^; le point de contact M| est la projection du point de contact ^I^. La développée

DÉVELOPPÉES 4l5

gLiiiclie r:sl donc triicée sur le cylindre droit, ayaiit pour base la développée plane D,. Comme l'angle MjMM, est constaiil (S''265), les tangentes MM, à la courbe D^ font un angle constant avec les génératrices du cylindre; la courbe Dj est donc une hélice tracée sur le cylindre di'oît ayant pour base D,.

Quand le point M décrit la courbe plane donnée, le plan MM|Mj, tangent au cylindre le long de iMiMj, s'enroule sur le cylindre et les deux droites MM, et MM^ s'enroulent sur les développées D, et Dj. On a ainsi un cas particulier des propriétés établies au \" 263.

266. Développantes. — On appelle thh'eloppan/e d'une courbe une autre courbe dont elle est la développée. Etant donnée une courbe C,, pour construire une de ses développantes, il suffit de portersur chaque tangente M.M de la courbe une longueur l telle que ;

arcO, M, + ;-=<-■,

c désignant une constante (N° 203).

En faisant varier la valeur de cette constiuiîe, on ol)tient une infinité de développantes. Si on elioisit l'arc OjA égal à c, on peut dire aussi qu'on prend sur chaque tangente M,M une longueur M|M égale à l'arc M,A. La développante considérée coupe la courbe au point A {fig- 140). Fig. uo.

Les diverses développantes d'une même courbe sont des courbes parallèles : en effet, si on considère une deuxième développante A'M', les tangentes aux deux développantes, en M et M', sont perpendiculaires ïi M^MM' et, par suite,

par;

allèles. La longueur M^l' est constante et égale ii l'arc AA'. La détermination analyti([ue des développantes d'une courbe exige une intégration, car elle exige le calcul de la longueur .s^ de l'arc 031..

267. Exemples de développantes. 1° Développanie de cercle. — Considérons la développante qui part du point A, situé sur Ox; on l'obtient en portant, sur chaque tangente M^M, une

longueur M^M, égale à l'arc AM,. Soient h l'angle AOMi,« lerayo du cercle, les coordonnées du point ~Sl^ sont

L'arc AM, étant égal ii an, on a >I,M = an. En projetant OM^M ■■ axes, on a les coordonnées ^ et ^ i point M

On peut, avec ces formules, construire la courbe. La tangente, en M, est parallèle au rayon OM,.

La courbe AM, ainsi trouvée, a pour développée plane le cercle donné ; elle a donc (JN"" 265) pour développées gauches des hélices tracées sur le cylindre droit ayant pour base le cercle.

2" Développante d'une chaînette. — Soit une chainettc ayant pour équation

Nous allons déterminer la développante partant du sommet B de la courbe sur l'axe Oij (Voyez la figure 40 du N" 57).

Soit M un point de la chaînette. On obtient le point correspondant delà développante, en portant, sur la tangente, une longueur MC égate i» l'arc BM. Or nous avons vu (X" 57) que le point C s'obtient en abaissant du pied P de l'ordonnée de M une perpendiculaire PC sur la tangente, et que la longueur PC est égale à a. La tangente, en C, à la développante, étant perpendiculaire à CM, se confond avec CP, La développante, partant de B, est donc une courbe telle, que la longueurdeses tangentes CP jusqu'il l'axe Oa^ soit coHS(«w(e. C'est la courbe aux tangentes égales étudiée au N° 155.

Les autres développantes de la chainettc sont des courbes par;dlèles à la courbe aux tangentes égales.

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