AT
Supposons le g »^0, R atteint s
De même, pour 'f ^ -^ i R atteint son minimum R " et on ;
La foi'nuilc donnant R s'i'-crll alois
-L=^cos^.+ l^-sin^.
:\\ loi
-An
Quand le ]dan de la section jionu vers ^An", le centie de courbure de la section part de C, descend d'une manière continue, pour arriver en C", quand AB coïncide avec Ail". Ce plan continuant Ji toiinier, R repasse par les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.
Il peut arriver, en particulier, que les deux rayons de courbure principaux en vig. i,:.
un point A soient égaux : R' = R".
L'indicatrice en ce point est alors nu cercle. Toutes les sections principales en un pareil point ont même rayon de courbure. On appelle un point de cette uatiire un ombilic de la surface.
COURS D' ~4<i)..
■ Reprenons la
ictuel, lii snriiice est ii coiirl>iire totale négative aa
point A : le trinôme, qui donne l'expri: deux valeurs de tang a
nnule pour
nant deux directions AD et AD', qui sont asyniptoliques
Quand la trace AB de la section normale ;AB passe par une de courbure R change de signe en passant par l'infini. Supposons, pour fixer les idées, que R soit positif, lorsque AB est situé dans l'angle DAD', appelé 1 sur la figure 148, et négatif dans Tangle adjacent appelé 2. Les sections normales, dont la trace AB est dans l'angle 1, ont leur centre de courbure sur A^; celles, dont la trace est dans l'angle 2, ont leur centre de courbure au-dessous de A. Cela tient à ce que la portion de surface, voisine de A, qui se projette sur l'angle 1 et son opposé au sommet, est au-dessus du plan des .J'y; celle qui se projette sur les angles 2, au-dessous. La surface traverse le plan suivant une courbe tangente, en A, aux droites AD et AD'.
Supposons d'abord la trace AB clans l'angle 1, alors R est positif Pour étudier la variation de R, nous prendrons encore, sur AB, une longueur
P= ai = i/r.
I.e lieu du point I, quand AB varie de AD a AD', est une hyperbole ayant pour asymptotes AD et AD'. En effet, l'équallon du lieu du point I est, comme dans le cas précédent, (I) 1 = r^X' + 2.^„XY + r„Y' ;
yGoosle
COURBURE DES COUnBES TliACISES SUR UNE SURFACE 4^7
équation d'une hyperbole (/•„?„ — 4"^*^) ^^ centre A, dont les directions asymptotiques sont AD et AD'. Cette hyperbole étant tracée, pour avoir le rayon de courbure d'une section normale -AB, dont la trace rencontre cette hyperbole en I, il suffit de prendre
R='Ôïl
Prenons maintenant une section normale ;AB', dont la trace est dans l'angle 2. Alors R est négatif. Pour étudier la variation de R, nous prendrons, sur AB', un point F situé à une distance de A, telle que : __,
p'^Al'^l/— R.
Cette longueur est réelle, car R est négatif; le point I', ayant pour coordonnées polaires p' et <a, a pour coordonnées carte-
L'équation (9), dans laquelle un remplace II par-— p'^, donne, pour le Heu du point 1',
ou, en passant aux coordonnées cartésiennes,
C'est lii l'équation d'une nouvelle hyperbole conjuguée de la précédente (I).
Cette hyperbole est tracée en pointillé sur la figure 148.
Cette hyperbole étant tracée, pour avoir le rayon de courbure d'une section normale î:AB', dont la trace rencontre cette hyperbole en 1', il suffit de prendre
