Exemple. — Soit le paraboloïdc hyperbolique équilalèje

Cherchons les directions principales et les rayons de courbure principaux, en un point A quelconque de la surface (fg. 15:!).

4^6 COURS D'ANALYSE

Acluellcnitnt, nous connaissons les diroclions asymptotiqnes en chaque point ; on cH'et, le plan tangent, en un point A, coupe la surface snivanl deux génératrices rectilîgnes AD et AD' passant par A. Cette . intersection est une courbe îi point double et les tangentes, en A, à cette courbe, c'est-à-dire les droites AD et AD' elles-mêmes, forment les direc- ^ [,■; ,-3^ tions asymptotiques. Les directions

principales, en A, sont donc les bissectrices An' et An" des angles formés par les génératrices recti-

lignes passant par A. Nous avons ac

tnellement

L'équation donnant

l'i- «st ici

■2Sj-, + 1 +

fl+r + j

Elle a pour racines

■-xi/-i-V{\--\-^

Les deux rayons de ,

coni'ljure principaux sont ;

dors

La surface a, en tous s

es points, une

courbure totii

de ni

■gativ.

Elle a iine courbure moyenne nulle, aux points appartenant lux deux axes 0^ et Ov. En effet, si .r ^ 0 ou ?/ = 0, on a

ÉTUDE D'UNE SURFACE EN VN POIXT \'i^

Ce Tait est aisé à vérifier géométriquement, car, en un point A de O.r, par exemple, il passe deux génératrices du paraboloïde ; Tune AD' coïncide avec Occ, l'autre AD est perpendiculaire aOj:.

En ce point A, les directions asyniptotiques sont donc rectangulaires. L'indicatrice est formée de deux hyperboles ê'/i/ihilères et un ,1 R'H-R":^0.

ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE D'UNE SURFACE AUTOUR D'UN POINT. AUTRE DÉFINITION DE L INDICATRICE