Dèiinition géométrique de l'indicatrice. — Soit, comme
l'équation d'une surface rapportée à une normale Ar en un point quelconque et au plan tangent en ce point.
Soit un plan A', parallèle au plan tangent .fA*/, situé au-dessus
de ce plan à une distance inllnimcnt petite AA'^r. Ce plan coupe la surface suivant une certaine courbe, qui se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal (/î^'-. 154). L'équation de cette projection est
ob j est une constante positive infiniment petite. Soit M un point de cette courbe voisin de A', P sa projection sur le plan tangent
jAi/ : construisons lu figure homothctiquc du lieu du point I', eu prenant comme centre d'homothétie A et comme rapport d'Uo-
mothétie la quantité -^===-T=:- Alors, sur chaque rayouAP,
il TiUii prendre un point I tel que :
AI' t/2T ■" 2;
Nous allons vérifier que, ; étant înfinimenl. petit, le lieu du point I est une conique, ayant pour équation
[]) ;-„X^H-25„XY-H/„Y'=l.
ILn effet, le point Payant pour coordonnées .r et//, et le point i pour coordonnées X et Y, ht relation
AP^AU''-ir.
ionne, imin
édiaten
enL,
.^XV'2^, u^YVÎT;
en portant ,,ol„t 1>, 0,
a, poui
urs de .V et tj dans l'équ lieu du point I,
- ;(r,X'+2s„XY + r„V^; + . 4" O ..) ^ *'.
Il écrits couticiineut ; — en l'acteur. Divisant cette équation par ; et faisant tendre ^ vers zéro, on obtient, comme lieu du point I, la conique (I).
Dans ce qui précède, nous avons coupé la surface par un plan parallèle au plan tangent, placé du côté des ; positifs.
Prenons de même un plan A", parallèle
au plan tangent x\t/, mais du côté des ; négatifs : ce plan coupe
la surface suivant une courbe, dont la projection est représentée
par l'équation (P), où j: a une valeur constante négative {fig. 155).
Soit M un point de cette courbe, P sa projection horizontale;
amplifions encore le rayon vecteur AP dans le rapport ,-■■ ■■ ,, et
nous aurons, comme lieu du point I', la conîqiio (r) /■,X' + 2s„XY + /„Y^-=— 1.
En ciTct, on a iictuollemoul
en portant diins Téquation (P), divisant par r. et faisant teindre 5 vers zéro, on obtient l'équation de la conique {¥). L'ensemble des deux coniques (I) et (F) forme l'indicatrice de la surface au point A. La partie (1) de l'indicatrice provient des plans sécants, parallèles au plan xKy du côté des z positifs, l'autre partie (F) provient des plans sécants, parallèles au plan ocKy du côté des z négatifs.
On a donc ainsi un moyen simple de définir les indicalrires en un point.
278. Rayon de courbure d'une section normale. — Soit AB la trace d'une section normale et supposons que cette section soit une courbe AM tournant sa concavité vers le haut (^fig. 154). La droite AB étant tangente en A à la courbe, et MP étant la distance de M au plan des xy, le rayon de courbure en A est positif, et a pour valeur {N" 225)
R = Ho,^M!L..-ll,n^.
Soit, sur AB, le point I de rindlcatrice défini par îu relation
On a alors
R =ri' ;
44» COURS D'ANALYSE
on retrouve ainsi la représentation du rayon do courbure, à l'aido de l'indicatrice.
Soit, de même, AB la trace d'une section normale tournant sa concavité vers le bas {fig. 155), M un point de cette section voisin de A, P sa projection. La valeur absolue du rayon de coinliure de cette section, en A, est
lir
AP
Mais, d'après nos conventions, ce rayon de courbure doit être regardé comme négatif. On a donc :
