MF
Comme la distance ilP est égale à — r, z désignant l'ordonnée de M qui est négative, on a encore
Mais, pour définir le point I' de l'indicatrice, on a pris
, ÂI*^
AF' = rLm :, •
On a donc
R = — Âï".
279. Rematiqi.'e. — On peut présenter ces résultats de la laçon suivante. En coupant une surface par un plan parallèle au plan tangent, en un point non singulier, à une distance infiniment petite de ce plan, et regardant la courbe d'intersection, au voisinage du point de contact, avec une loupe d'un grossissement infini, on aperçoit une conique, ayant le point de contact comme centre. Cette conique est l'indicatrice : c'est une ellipse, une hyperbole ou un système de deux droites parallèles, suivant que la courbure totale de la surface au point considéré est positive, négative ou nulle. Les axes de cette conique donnent les directions principales de la surface au point considéré; ses directions asymptoliques donnent les directions asymptotiques de la surface
ÈTVDE D'UNE SURFACE EN f.V POJNT 4^1
lui point considéré; elles coïncident avec les tangentes, au point de contact, à l'intersection de la surface par le plan tangent.
280. Ca.8 p&rticulier des surfaces du deuxième ordre. — T^es théorèmes précédents sont alors évidents, car, dans une surface du deuxième ordre, les sections faites par des plans parallèles sont liomothétiques. Donc, dans une de ces surfaces, pour obtenir une courbe homothétique de la section de la surface par un plan parallèle à un plan tangent et infiniment voisin de ce plan, il suffit de prendre la section de la surface par un plan parallèle au plan tangent, a une distance finie de ce point convenablement choisie, et de part et d'autre.
Il est évident, d'après cela, que, pour un ellipsoïde, l'indicatrice en un point est une ellipse ; pour un hyperboloïde à une nappe, elle est formée de deux hyperboles conjuguées, ayant pour directions asyiliptotiques les génératrices du point de contact ; jjour un cylindre, elle est formée de deux droites parallèles à la génératrice de contact.
281 . Usage de l'indicatrice pour la détermination des tangentes à l'intersection de deux surfaces tangentes en un point. — Quand deux surfaces sont tangentes, en un point A, elles se coupent, en général, suivant une courbe ayant un point double en A. Supposons qu'on ait construit les indicatrices des deux surfaces en ce point, courbes qui sont situées dans le plan tangent commun en A. On a alors le théorème suivant ;
Les ta/ige/i/es à l'intersectio/i, an point A, sont les diamè/res communs aux indicatrices des deux surfaces.
En effet, prenons le point A comme origine et comme axe As la normale coinnuine aux deux surfaces. Les équations de es
surfaces sont
: = ^j-(.Vi' + 2 j,xi/ -+t,,j')
Pour obtenir la projection de l'intersecllon de ces deux surfaces sur le plan des xy, il faut éliminer z entre ces deux équa-
e fait en les retranchant membre ii memln-e. On :i c projection de l'intersection
Les termes de moindre degré étant du deuxième degré, lu courbe présente un point double il l'origine A. Le plan des xy étant tangent aux surfaces, en A, les tangentes il la courbe d'intersection dans l'espace, nu point A, se confondent avec les tangentes à sa projection : ce sont donc les deux droites représentées par l'équation
Or CCS droites sont précisément les diamètres communs aux deux indicatrices
/■,X^ + 2sjXY + /jV^ = ±l,
où les signes des deuxièmes membres se correspondent. En ellel, pour avoir les diamètres communs à ces deux coiiifjnes, il sullil de retrancher leurs équations membre ii membre, ce qui donne l'équatîon des tangentes écrite plus haut.
Si les indicatrices des deux surfaces, en A, n'ont pas de points réels communs, les deux' tangentes sont imaginaires, le point A est un point isolé pour l'intersection des deux surfaces.
282- Paraboloïde osculateur. Tore oscillateur. — Une surface étant rapportée à un de ses points A pris comme origine et il la normale en ce point comme axe des z, on peut, en développant .; par la formule de Mac-Laurin, écrire l'équation de la surface sous la forme
(S) ==i(,vr' + 2,v«.? + '.;;') + --
La loi de la coiirbure des sections normales faites autour du point A, et, par conséquent, la loi de la courbure de toutes les sections planes passant par A, ne dépend que des coefficients ''o'®»' ^n- Cette loi est donc la même pour une deuxième surface tangente à la première au point A et pour laquelle r^,s„,t.^ ont
ÉTUDE D'r.VE SCRFACE E.V C.V POI.yT 443
los mêmes valeurs. C'est ce Cjn'on voit avisai par lii géométrie, eii remar([oaiit que la variation du rayon de courbure des sections normales est représentée à l'aide de l'indicatrice.
/■„X^ + 2 s„XY + /, Y' = it 1 ;
cette indicatrice ne dépendant que de r„, s„, /„, deux surTaces laugenles, en A, pour lesquelles ces trois coefficients ont les mêmes valeurs, ont les mêmes indicatrices, et, par suite, deux sections normales ou deux sections planes quelconques, faites par un même plan dans les deux surfaces, ont même rayon de courbure, en A.
Ainsi, au point de vue de l'étude de la courbure des sections planes passant par A, on peut substituer a une surface une autre surface tangente, pourvu que ;■„,»„,?„ soient les mêmes, ou encore, pour^'u que les directions principales et les rayons de courbure principaux, eu A, soient les mêmes.
Voici deux façons simples de réaliser cette substitution.
Paraboloïde osculateur. — ("onsidérous lu surface
obtenue en supprimant dans le développement (S) tous les ternies suivant le groupe des termes du deuxième degré. Cette équation définit un paraboloïde qu'on nomme paraboloïde osculateur ii la surface en A. Dans le voisinage de A, on peut substituer à la siirl'ace un petit fragment de ce paraboloïde ; la loi de la courbure des sections planes n'est pas altérée.
Si on prend pour axes A^ et A^, les directions principales Ail' et An" et si on appelle R' et R" les deux rayons de courbure principaux, ou a
l'équation du paraboloïde osculateur est donc alors
COURS D'ANALYSE
Ce pai'aboloïde est elliptique on hyperbolifiue, suivant que la surface est à courbure totale positive ou négative. Dans le cas où la courbure totale est négative, les directions asyinptotîqucs de la surface S, eu A, coïncident avec les génératrices rectilignes du pai-aboloïde osculateur P passant par A.
Si la courbure totale de la surface S au polut A est nulle, R'=rTQo et le paraboloïde osculateur devient un cjlîudre parabolique
tangent au plan des j'y suivant la droite unique avec laquelle se confondent alors les deux directions asymptotiques de la surface
donnée S.
Tore osculateur. — ■ On peut aussi construire facilement un 1 ayant, eu A, mêmes directions principales et mêmes rayons
de
n-bure principaux que la surfac Soient AD' et Ail" les directions principales, C et C" les centres de courbure principaux correspondants. Dans le plan de section
principale zKW, traçons le cercle de centre C et de rayon C'A=R'. Dans le plan de section principale zKR", traçons, de même, le cercle de centre C" et de rayon C"A=R". Supposons ensuite qu'on fasse tourner le cercle C" autour d'un axe C'F, mené par C perpendiculairement au plan du cercle C, Nous engendrons ainsi un tore, qui est tangent à la surface donnée eu A. En outre ce tore a, en A, les mêmes directions principales
ÉTUDE D'VKE SCaFACE EX l'N POIXT 44^
An'etAII" que la surface donnée : cela est évident, par raison de symétrie, car la droite AD' est tangente à l'équateur du tore en A et ATI" au méridien. Enfin ce tore a, en A, les mêmes rayons de courbure principaux que la surface proposée, car les deux sections principales, en A, étant l'équateur et le méridien, leurs centres de courbure sont les centres C et ÇJ' de ces deux cercles .
Nous avons figuré ce tore [fig. 15G, I et II), en supposant successivement que la surface est a. courbure totale positive ou négative.
Si la surface est il courbure totale nulle, R'=^x , le tore se réduit à un cylindre de révolution ayant pour base le cercle C", tangent au plan des xij le long de An'.
283. Application. Rayon de courbure de la projection d'une courbe. — Soit une courbe g-aucho AB que l'on projette orthogonalement sur un plan Q en ab : désignons par AÎV' la normale principale it la courbe au point A, par p le rayon de courbure de
la courbe en A et par AT la tangente : cette tangente se projette en ai; nous appellerons ^ l'angle de AT avec sa projection at. Considérons, d'autre part, le cylindre projetant la courbe AB, et appelons AN la normale en A à ce cylindre, 9 l'angle NAN'. Le cylindre constitue une surface S sur laquelle est tracée la courbe AB; et, d'après le théorème deMeusnier, le rayon de courbure p de la courbe AB est égal au rayon de courbure R de la
^46 COURS D'ANALYSE
seclioii noriiiali? l'aîte. cliins le cylindre, par le plan TAN multiplie par co. 9
[i) c = Rcose.
11 s'agit de calculer maintenant le rayon de courbure R' de lu courbe ab en a, c'est-à-dire le rayon de courbure d'une section droite quelconque du cylindre. Menons la section droite du cylindre piissant par A, AE : soit KW la tangente à cette courbe en A, An" la génératrice «A prolongée : ces deux droites Ail' et Atl" sont les directions principales du cylindre en A, car l'indicatrice du cylindre, en A, est réduite ii deux droites parallèles ii la génératrice. Les rayons de courbure principaux du cylindre, au point A, sont : le rayon de courbure R' de la section noi-male AK menée par AQ' et le rayon de courbure R" =00 de lu section normale menée par AU". La section normale NAT a, sur le plan tangent au cylindre en A, une trace AT faisant avec An' l'angle » ; le rayon de courbure R de cette section est donc donné par la formule (N<* 272)
"R" ~ -Jv '■"'"'■?+ Tï^""''-f'
ou, comme R" =- x ,
Kllniinant R entre les deux relations (i) et (2), on a
Cette formule donne le rayon de courljiue de la projection au
Cas PAUTicLLiKiis. — l" Si le plan de projection Q est parallèle à la tangeute AT, on a «=^0, d'où
