Equation diiférentieUe des lignes de courbure

Soit une surface ayaiU pour équati(in

si, sur cette surface, on considère une ligne de courbure L', les coordonnées d'un point A de cette ligne peuvent être regardées comme des fonctions d'un même para-

X = 'fQ.), !/ = '\>Q-), z=f[:r,ij).

Appelons, comme précédemment, yi, q, )', s, t les dérivées partielles premières et secondes de z, par rapport à x et y. Ces dérivées sont des fonctions de x et y, et, par suite, le long de la ligne de courbure, des fonctions de  par l'intermédiaire de jr et y. Quand ). croit de d\, le point A subit un déplacement infiniment

petil AA'j X et y croissant Jc^/.i' et (///, -. f et ij croissent c!e leurs difl'éreiiti elles :

Los ér[ualioiis dclanorm^ik A\ it lu surlacp, au point A [a, y, z], X — .1- Y— y ■/.— -.

—j, '^— — -irr-

OU, en égalant les deiiK premiers rapports au troisième, (1) X = -/.Z + ,,■+/;.,

Dans ces équations, .r, ij, z, p et y sont, le long de la ligue de coui'bure, des i'ouctions <le À. Nous devons exprimer que la normale (1) engentli'e une surl'ace développable. Or, les équations d'une droite étant mises sous la l'orme :

X = rtZ + //, Y=./.Z + X-,

oii fl, h, h, k sont fonctions d'un paramètre a, pour i[ue cette droite engendre une surface développable, il faut et il sullit que les deux cqiuitions dérivées

lit. dl. (!/. di.

eut, pour /., la