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Comnio, dans les équations l , ou a
» = — /'■ *= — '/, *=.»■+/;;. k-^y+qz, la condition ulioi'cln'e est :
''l-f+p-' •'[ij + r-]
dp - d.,
\ia développant, ou n :
tLc -\- pdz -\- zdp 1.1 ij -\- (jdz + zdq
Imant les doux loi
■11,0, f ,'mx "'''
,lp
cl,i + ,i,h.
Si l'on remplace dz, dp, dq jiui' leiii's exprcsslivns ci-dessns, la condition (3) devient
(1 -^p") dx -\-pqdij ^ p'idx^[i^q-)d!i rdx: + sdy ' sd.i -\- idij
Kn chassant les dénominateurs, on voit qtie cette éc[ualion est du deuxième degi'é en dx et dij. FJle prend, en elïct, la forme
(4) di,\{V^,f)s -pqi] + dxd,j [{i + q') /■ - ( l ^-p') 1 1
+ rf^.^[/>y,— (l+/)«]=0.
Kn divisant par t/,f', on obtient une équation du deuxième degrc en -p- . Ce résultat montre que, par chaque point de la sui-fuce,
il passe deux lignes de coiirhure. En effet, si on projette le p<)înt K sur le plan horizontal, en A,, et la ligue de courbure en Li, la tangente Ail' à la ligne de courbure, en A, se projette horizontalement, suivant la tangente S.^[ à la projection L|. Le rapport ~ est le coefficient angulaire de la tangente, en Aj, ii la projection L; de la ligne. Les coordonnées x et ij du point A, étant données, les quantités ',p, q, i\ s, I sont déterminées, et l'équation (4) donne pour -5— deux valeurs : par le point A,, passent donc les projections, h[ et L,', de deux ligues de courbure, tangentes aux deux droites A,n[ et A, II", dont les coefficients angulaires sont racines de l'équation (4) . Cette équation s'appelle Vè</fmlion différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan desxy.
IG.\KS DE COVItBLUE
286- Théorème I. !,es deux lignes de courbure, passant par un point S. d'une sui-face, ont pour tangentes, en ce point, les deux directions principales Atl' et Aïl" .
Pour démontrer ce théorème, portons l'origine au point A (Voyez figure 147 ou 149 ou 151) en prenant comme axe des z la normale en A, comme axes des x et des i/, les direclions principales au point A. Alors (N° 272) p, q, s deviennent nuls, /■ et t prennent des valeurs *■„ et t^. L'éqnation du deuxième degré (4), donnant les coefficients angulaires des tangentes aux projections horizontales dos deux lignes de courbure passant par A, devient
[l^—r;;)dxd!i = 0.
elle donne doii^
L'une des tangentes aux lignes de courbure, passant par A, est donc l'axe Ai/ ou AQ", et l'autre l'axe, kx ou Ail'.
Autre démonsthation. — Sans faire le changement d'axos cidessus, nous pouvons démontrer le théorème comme il suit. Si,
dans l'équation dudeuxiéme dL-gré (4), nousremplaçons -j~ par m,
cette équation devient
m'^[{\ + rj^)s—pqt]-^m.\{ï^f)r~{i+f)t]^ pqr~{i-\-p^)s = 0.
On reconnaît alors qu'elle est identique a l'équation du X" 27^S, donnant les coeflicients angulaires des projections A,n| et Ajl!,' des directions principales sur le plan des xy {fig. 152-158). Les lignes de courbure sont donc, en projection, tangentes à AjUJ et A,n", et, sur lu surface, elles sont tangentes aux directions principales Ad' et Ali ".
28T. Théorème II- — -Soit AN la normale, en A, a lu surface ; par le point A, passent deux lignes de courbure L' cl L" (^fig. 158). Si le point A décrit la ligne L', hi normale à la surface enveloppe une certaine courbe : soit C, le point de contact de AN
avec cette enveloppe. Si le point A décrit la ligne L", la nomiiilc k la surface a, de même, une enveloppe : soit C", le point de contact de AN avec cette deuxième enveloppe.
Les points C et C" sont ïes deux centres de courbure p/i/icipauv relatifs au point A.
Quand une droite mobile
dont les coefficients dépendent d'un paramètre X, aune enveloppe, les coordonnées du point de contact de la droite avec son enveloppe vérifient les équations dérivées par rapport it /
Le Z du point de contact est donc donné par les deux équations compatibles
0 = 7.da + dh , 0 = VAh + dk .
Actuellement, il s'agit de l'enveloppe des normales X=— ;;Z + .r + /j;, Y^ — ./Z-h^ + y-^.
Le Z du point de contact de la normale avec son enveloppe est donc fourni par les équations compatibles
0 = — Z^/;+(;(.r +/?:), ()=: — 7.dq-]-d{'j + <i-),
ou, en développant,
(6) 0 ^ — Z {rdd: -f- sdi/) + dx -^-pdz -H zdp, 0 = -^'L{sdx -^ idy)-\- dij -^ (pi z -h zdrj .
Portons alors l'origine au point A et prenons, comme plus haut, pour axes la normale AN et les deux directions principales An' et An". Nous aurons
;' et t prenant des valeurs r^ et Z^.
Les équations (6), donnant le Z du point de contact de la normale AN avec son enveloppe, deviendront alors
(7) 0=~2i;ds-hdx, 0 = — 7.t„d>j + d,j.
yGoosle
LIGIVES DE COURBURE iJâS
Si on déplace lu normale, le long de la ligne de courbure U, tangente à Tiixe des jc, on a dy = 0, dx étant différent de zéro. La deuxième des équations (7) est identiquement satisfaite et la première donne pour le 7, du point de contact C
R' étant le rayon de courbure principal correspondant à la direction principale AU'. Le point de contact C est donc bien le centre de courbure principal, relatif à la direction principale AU'.
De même, si
i on déplace la normale, le Ir
mg de 1,1
> ligne L",
, première de
s équations (7) est identique,
la deux!.
ème donne
'est-k-dire
Le Lhcorèmc
est donc démontré.
288. Résumé. — En résumé, les lignes de courbure d'une surface forment deux familles de courbes, L' et h", se coupant respectivement a angle droit. En chaque point A de la surface, les directions principales, Alï' et Ail", sont les tangentes aux deux lignes de courbure passant par ce point, et les centres de courbure principaux de la surface, en A, sont les points où la normale, en A, touche les deux courbes qu'elle enveloppe, suivant qu'on déplace son pied sur la ligne L' ou la ligne L".
On voit que la connaissance des lignes de courbure d'une surface entraîne la connaissance de tous les éléments nécessaires à l'étude de la courbure de la surface en chacun de ses points.
Remahqïik. — 11 faut bien remarquer que C et C" sont les centres de courbure des sections normales de la surface menées
par Ail' et Ail" {Jlg. 158), et non les centres de courbure des deux lignes de courbure. D'après le théorème de MeusnJer.pour déterminer le centre de courbure de la ligne L', en A, il faudrait connaître le plan osculateur P à cette courbe, en A, et projeter ensuite le point C, centre de courbure de la section normale, sur le plan P.
Le lieu des points C est une développée de la ligne de courbure \J, puisque ce lieu est l'enveloppe d'une suite de normales à \J . De même, le lieu des points C" est une développée de L".
289- Lignes de courbure d'un paraboloïde hyperbolique équilatère. — Soit lii surfiice
L'équation différentielle de la projection des ligues de luro sur le plan des xy étant, en général,
//x + pdz (II/ -\- i/dz
devient aetucllement
''Il
Chassant le dénominateur et réduisant, nous av' y + .^')d,j'~{a'+,j')dx-=IS.
équation du deuxième degré en -— . Ou en tire
dx -V.-i+F'
En intégrant cette équation différentielle, on a l'équation, en
