I.ICyES DE COURBURE

l.ermcs iiiiis, île la projection des lignes de courbure sur le pliiii des .17/. l'.n s6p;ii';mt les variables, on peut éprirc

1 intégriuit,

iog(.c+i/;^

.r^)±log;y + l/«^+,/- =IogK,

K désignant une constante arbitraire.

Suivant le signe choisi, on ;» l'un ou l'autre des deux sjsLènies de lignes de courbure.

Le signe + donne, en passant des logarithmes aux nombres,

et le

des deux iaiiillles de ih

lins! les projections horii ourbure.

290. Lignes de courbure des surfaces de révolution. une surface de révolution, les lignes de eourlinre sont le IHes et les méridiens.

En effet, considérons une suri'ace de révolution, d'axe Ox et de méridienne AM, Les normales à la surface, le long d'uu parallèle quelconque AP, formentnncônc dont le sommet (]' est sur l'axe de révolution. Elles engendrent donc une surface développable, dont l'arête de rebroussement est le point C

ifië- 159)- i-i.'. '^'0-

De même, les normales à la surface, le long d'un méridien AM, sont dans le plan du méridien . Elles ont donc une enveloppe, qui n'est autre chose que la développée plane de la méridienne, et le point de contact C" d'une

normale AN avec celle ciiveloppc, est le centre Je coiirbui'c de la méridienne, au point A (N*264;.

D'après cela, en un point A d'une surface de révolution, les directions principales sont les tangentes An' et Ail" au méridien et aw parallèle passant par A, et les centres de courbure principaux correspondanta sont : 1" le point C, oii la normale, en A, coupe l'axe de révolution, 2" le point C", centre de courbure de la méridienne au point A.

Par exemple, si l'on considère la surface de révolution engondvée par une chaînette

tournant autour de l'axe Ox, les centres de courbure principaux, en un point A, sont : l'un sur l'axe O.r, en C, l'autre au centre de courbure C" de la cliainette. Comme le rayon de courbure d'une chaînette est égal à la normale ÇS" 220), on a AC = AC", les deux rayons de courbure principaux sont égaux et de signes

et la surface a une coi.

a ainsi un exemple

ire moyenne nnlle en chaque point. On nple de surface d'étendue

développables. — Sur une surface dcvcloppable, les lignes de courbure sont constituées par les génératrices l'ectilignes et les trajectoires orthogonales de ces génératrices, c'est-à-dire les développantes de l'arête de rebroussement.

En effet, le plan tangent étant le même tout le long d'une génératrice M, M, les normales à la surface le long de la ligne M,M (fi^. 100) engendrent un plan : on peut dire qu'elles ont pour enveloppe un point C une des normales. Xous connaissons ainsi

rejeté à l'iuKn

un des systèmes de lignes de courbure. I, 'autre système est alors