I, — FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES INDÉFINIES

20- Fonction primitive. — Sous venons de voir comment on fiilfiule la différentielle crime fonction d'une variaMe indépendante X. On peut se poser le problème inverse de trouçer une fonction d'une variable indépendante x ayant une différentielle donnée f{x)dx.

Remarquons d'abord que, si l'on a trouvé une lonction -s [x] répondant i\ la question, c'est-à-dire telle ([ue

rf» H = /■(..■), fa, ?'{■•■) = /■(.'■).

la fonction la pins générale répondant à la question est

îW + c,

C désignant une constante arbitraire. Cela résulte de ce que deux fonctions ayant même dérifée ne différent que par une constante.

La fonction la plus générale «{arJ+C admettant une différentielle donnée f[x)dx s'appelle fonction primitive de f[x) ou encore intégrale indéfinie de la différentielle f{x) dx .

Dans des cas simples, on aperçoit immédiatement cette intégrale indéfinie. Ainsi l'intégrale indéfinie de x dx est-^+C;

«elle de :t-d.i- csl, '-

COURS D'AXALrSE

+- C ; celle de cns.iv/.f est s

-C, etc..

21- Existence de l'intégrale indéûnie. — Soit /'(,i) i^.i' une (liiFérentîelle donnée, nous rtlloiis montrer qu'il existe toujours une ronction s {.r) ayant pour différentielle f[x) dx ; la fonction lii

plus générale ayant pour différentielle f[.e) d.c ou l'intégrale indéfinie de /"(.c) rf.r est alors » (r) -f- C

Construisons la courbe ayant pour cr|Uiition en coordonnées rectangulaires (fig. 8)

Considérons un arc continu de cette courbe, une ordonnée lixe M„P„ d'abscisse a et une ordonnée variable MP d'abscisse .c. L'aire A du segment P„ M,, MP est évidemment une fonction de .c, car elle est déterminée dès que .r est connu :

Nous allons démontrer que cette airo a précisément pour difl'érentielle f[:r) dx,

lin effet, quand x croît de PP' ;= ix, l'ordonnée i\IP = y prend une nouvelle position r

,/ + ij = M'P'

et l'alie trok d'une ([uanlité AA égale il PMMT'.

ro.yCTio.ys pruiitives. iktegrm.es i^'oef/mes 3i

Menons par M et M' des parallèles MH et M'K à l'axe 0,r ; raccroissemeiit iA. est évidemment compris entre les doux rectangles PIMUP' et l'KM'P' : on a donc

,vA.r < AA < hj -+- Ay) A.r, et, en divisant par \x C[iTe nons supposons positif,

AA y < -^ < ^ + A(/.

Quand A,f tend vers zéro, il en est de même de \i/ ; le rapport — - étant compris entre ;/ et une fjuantité qui tend vers j/,

tend lui-n»ènie vei's ij. 1.:\ dérivée de A par rapport il ,r est donc//, et l'on a

puisque ij=f{.r).^

On a donc ainsi défini graphiquement une fouction A.^='f(.f] ayant pour différentielle f[.v)dx. La fonction la plus générale admettant cette différentielle est ï;(j7)-f-C. Ce fait se conclut d'ailleurs de la figure, car le choix de l'ordonnée initiale M,, P^ est arbitraire ; si on prend une autre ordonnée initiale M'nP'o et si ou appelle A' l'aire P'oM'uMP, cette aire A' est encore une fonction de ;c ayant pour différentielle /"(.r) (/,r; elle est égale il A plus la valeur algébrique de l'aire P'„M'„M„P„ qui est une conslanto.

22. Notation. — Nous avuns vu 'ii" 7'i que la valeur algébrique de l'aire P„M„:\IP est la limite de la somme des rectangles

limite que l'on écrit symboliquement

D'après cela, pour tlésigiier la fonction la plus générale ayant pour différentielle /"[xjïfa:, c'est-ti-dire l'intégrale indéfinie de f[x) dx, on emploie la notation j f[x) dx. L'on a donc, en appelant cs(j^) une fonction particulière ayant ponr diffère ntielle f\.v)dx,

C désignant une constante arbitraire.

Quand on détermine ainsi l'intégrale indéfinie d'une dilFérentielle donnée f{:f) dx, on dit qu'on intègre cette différentielle ; on dit également qu'on fait une quadrature, pour rappeler que cette opération revient à déterminer l'aire d'un segment de courbe.

On peut envisager le résultat ainsi obtenu à deux points de vue : 1" Si l'on donne la différentielle f[j:) dx et qu'on ne saclie pas trouver analytiquementla fonction admettant cette expression pour différentielle, on peut la définir graphiquement comme l'aire du segment de courbe y=^f{x); 2° si l'on donne une courbe y^f[x), toutes les fois qu'on sait trouver une fonction '-^ [x] admettant pour différentielle /(.r) dx, on sait calculer jntrol'aire d'un segment de cette courbe,

23. Tableau d'intégrales indéûnies usuelles. — Dans le tableau suivant, n désigne une constante quelconque, positive iHi négative, différente de — 1; C désigne la constante arbitraire duite par l'intégration.

roiycrro.ys primitives, intécrai.es iNDÉFiyiEn 3J

(•^' fvék

On ramène immédiatement à ces intégrales les suivantes dans lesquelles k est une constante positive, racine carrée arithmétique

de F.

^ ^^^.,(iVi..)<

Si, dans le second membre de (9) on chasse lo déiiomlnaLcur A sous le signe log, on peut écrire ce second membre :

]og [x -\- ^x^ ± P) — log /: + C ;

le terme — log A- s'ajoute à la constante C ; on peut donc écrire en désignant par l une constante positive ou négative, l=^±k- :

(II

COl-RS D\:

rornmle l'acile à vérifier piir la diffcrenLiatioii {voir le numéro 13), On peut l'acilement ramener il ces intégrales types les suivantes :

où a, h, c sont (les constantes, n un exposant dillérent de — 1. En effet, en écrivant d'abord

/■(»» + OfdT = —/{"■'+ '')•■' ("■•• H- '')

On voit que, au facteur— près, cette intégrale rentre dans ]i' type (I) oii X serait remplacé par ax-\-l/; donc

(12) /(«x + b)'J^ = i- j^l-^ [ai + ly • ' + C,

formule qu'on vérifie immédiatement par différentiation. Prenons maintenant le cas de «^ — 1 ; en écrivant alors

Ç dx i r d {ax H- /')

on voit que, au facteur — près, cette intégrale rentre dans le type (2} où ,r serait remplacé par ax-\-b; donc

'^^'* / af^ h = T '"*'' '"■* + '') + C.

Pour évaluer la deuxième intégrale, écrivons, on décomposant le trinôme ax'^-\-bx-^c en carrés

/dx 1 r

l-0.\CT10y.-> i'RIMiriVlJS, IMTÉGRALËS I?iDÉFIi\IES i5

Trois cas sont à distinguer suivant que h^ — ^ac est négittil', positif ou nul.

Si h* — ^av est négatif, on peut poser

4 oc — /,'

— ly

inlégi

nie

peut s'écrire

iiité

giiJc

du

type (8j où .,

est

re„

ipl.eé par ,

On il

de

Jor

i:ij

--arc iniig-

iirc

tilllË

(/4oc — //' "l/ 4 m — ''

Si ir — 4 rtc est positil', posons

//- — 4 oc //,• 4 „r

f l'intégiale pnul s'ceiiro

intégrale du type {10) oii x est remplacé par .c + y^. Doi

^c ^Jl^Io 2"

+ i,»H-c 2at "^ , ^ * ^, ■' T^Tj — : — r^

COURS D'ANALYSE

Diiiis ce cas, les racines du trinôme ax'' + i.r + c sont réelles 1 on les appelle x' et :c" on voit qu'elles sont égales ii

on peut doi

m écTlrE alors

Enfin, si

li'^ — ^cic est nul, on a

iiiiintenant à l'intégrale

Deux cas sont à distinguer suivant le signe de a.

Supposons d'abord a positif. iXous mettrons, Jcvanl le radical, '^a en facteur et nous décomposerons encore le trinôme en carrés ; il vient ainsi l'intégrale :

1 /• dx