CI.T

La quantité b? — .4 de est nécessairement positive, car, si elle était négative, la quantité sous le radical serait négative quel que soit a: et Tintégrale serait wiaginaii-p.

Xous pouvons alors poser

L'întégrylc pent s'écrii 1 /

COURS D'A.VALySE

cite rentre dans le tvpe (7) où ,»■ est remplacé par ,r + :T~.D(>i clans ce cas, a < 0, on a :

/dx /„,,.-^ + /,,,- + ,.

24. Intégrale d'une somme de diitèrentielles. — Intégrale de kfix)dx.

Soient

/;Hi,, f,{x]ix, /;(.,■:.</.,■

plusieurs tHIFéi'entieiles ; l'intégrale indéfinie de leur somme

est égide ii lu somme des intégrales indéfinies

//; H •!■' +jf. {■') '■' +jf: (.') ''■'■ ;

en efi"et, ces deux expressions ont toutes les deux pour différentielle

On voit de même que, k désignant une constante, on ii

car les deux membres ont la même différentielle k f'{.'-) d.r.

Par exemple, soit îi trouver l'intégrale indéfinie d'un polynôme

yGoosle

FOlfCTIONS PRIMITIVES. INTÉGRALES INDÉFINIES Jg

a, b, c étant constants ; cette intégrale est égale à

r «,fV,f + Çlixds H- fcdx

25. Intégration par pstrties. — Soient u et c deux Éonotion; de ,<;, oïl a

ll(h' + !'(/" :=; il {"*'),

d'où en pronaiil les intégrales indéfinies des deux membres, fixh' + ffdii = Hc + C

rrf",

où !1 est inutile d'écrire explicitement une constante arbitraire dans un des membres, car chaque intégrale indéfinie n'est déterminée qu'il une constante près.

Quand on peut mettre une différentielle donnée sous la forme udf, on voit que lii relation ci-dessus permet de ramener la recherche de fiid^ a celle de ffdii qui peut être plus simple. On a ainsi ce qu'on appelle la formule d'intégration par parties.

EXEMPLK 1.— Soit

/Ho,

cette intégrale est de la forme fitdc si l'on fait on a donc

a COURS D'ANALYSE

La deuxième intégrale est Donc

l';xKMri,E II. — Soit de même i on applique la formule préc;édenle en Taisant

irc siii ,r — ( .

voit que cette intégrale est

.ravcsin^ + v'r^ri:^+C.

Exemple III. — Soit à calculer l'intégrale

lù rt et a sont des constantes.

Nous appliquerons la i'orinule d'intégration par parties, en

laisan

Non

is aurons :

r ax'-

/ Va:,'--\-^d.,=.rV a.i-'-\-^

Dans la deuxième intégrale, remplaçons aj;- par <i.t nous aurons identiquement

FONCTIONS PltlMlTlVRS. !:iTEG!iM.ES INDL'I INIES ^i

d'où

En fyîsimt passer l'intégrale 1 V^«:c^+a (?,(^ dans le preinici membre et en divisant par 2, on a enfin

qui rentre dans les types connus (16) on (17) suivsniL le signe do «.

REMAiiQiîïi. — L'intégrale

j sjax'' + ix + c dx

se ramène immédiatement à la précédente. Il sulTit pour cela de déeompnsev en carres le trinôme placé sous le radical :

L'intégrale s'écrit alors

elle rentre dans le type (i8) où x est remplacé par x + .y- et a Jy^ — 4 ac

Cûi-R.'^ D'Ay\if.ys.

{ 1 9) / Vo.r' + /,,r + f ,;,,• = 4 (■'■ + îîr) >'"•'■*+''■'• + '■'

/.' — 4 <Jf /* Jx

Cette formule l'iimoiio l'intégrale cherchée àuneaufre d'ini type connu (161 ou (17).