LIGNES ASYMPTOTIQUES

rorinc des courbes tracées sur la surface et coupant les lignes du premier système, c'est-it-dire les génératrices rectilignes, h angle droit, Ces courbes sont les développantes de l'iirète de rebroussement M|D,. On peut les tracer eu déroulant un fil enroulé sur l'arête de rebroussement MjD, : un point du fil décrit une ligne de courbure de la deuxième famille.

On voit que l'un des rayons de courbure principaux, en chaque point, est infini; la courbure totale .., ..■,7 est donc nulle, en chaque point. Nous verrons plus loin que, réciproquement, une surface, dont la courbure totale est nulle, eu cbiKjue point, est une surface développable .

292. ExEBcicE. — Si deiLc surfaces se coupent suivant une ligne L, qui est ligne de courbure sur chacune d'elles, elles se coupent, le long de cette ligne, sous un angle constant.

Réciproquement, si deiLC surfaces se coupent sous un angle constant, tout le long d'une ligne h, et si cette ligne est ligne de courbure pour une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure pour Vautre.

Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème relatif il deux développées d'une même courbe, d'après lequel les normales, tangentes respectivement aux deux développées, se coupent, tout le long de la courbe, sous un angle constant (1N° 263) .

293. Définition, — Les lignes de courbure possèdent la propriété d'être tangentes en chacun de leurs points A à l'une des directions principales en ce point. On appelle lignes asympiotiques d'une surface des lignes tracées sur la surface de telle façon qu'en chacun de leurs points A elles soient tangentes à l'une des directions asymptotiques en ce point.

Comme les directions asymptotiques, en un point A, ne sont réelles que si, eu ce point, la courbure totale est négative ou nulle, les lignes asymptotiques ne peuvent exister que sur les portions de la surface formées par les points A où la courbure totale est négative ou nulle.

294. Équation différentielle des lignes asymptotiques projetées sur le plan des xy. — Mous avons vu (N" 187) qu'en un point A d'une surface, il existe deux directions asymptotiques AD et AD', réelles ou imaginaires, ajant pour projections horizontales deux droites A,E et \,V.', dont les coeflicicnts angulaires sont racines de l'équation

r, s, i désignant les valevn's des dérivées secondes de r jiar lapport à j7 et !/, au point A.

Sî donc on considère, sur la snrrace, nne ligne asymptotique passant par A, cette ligne admettra pour tangente AD ou AD', et sa projection horizontale admettra pour tangente A|F. ou A^E'

{fie- 152). ^

Le coefficient angulaire de la tangente à une courbe, dans le plan des a^y, est —^ . Pour que ce soit la projection d'une ligne asymptotique, il faut et il surtlt que ce coellicient soit racine de l'équation (1), c'est-;i-dire que l'on ait

'fê-)--^-

ou. en chassant les dénominateurs,

(3) rdv'+'ïsd.v'Jn^ulf^O.

Telle est l'équation différentielle des lignes asymptotiques. Elle est du deuxième degré en —p- : pour que les valeurs de—y— solent réelles, il faut et il suffit que l'on ait

c'est-ii-d!re que la courbure totale soit négative.

En intégrant cette équation, on trouvera, sur la surface, deux systèmes delignes asymptotiques coriespondant aux deux valeurs j *^.'/

yGoosle

LIGNES ASrMPTOTIQUES (îg

Ui;iiAiiQUE. — L'éqiiiilioiî différentielle îles lignes iisjiiiptotiqiies petit s'écrii'fi sous la forme simple (4) t/iH/.r-+-'hj,h/r=0.

En elVet, on a

ilp ^r(lx-\-Kd!i, i/'j ■— S'Ix + ''///, en remplaça ni, dans ^1), on retrouve tiien l'équiition (A).