Lignes asymptotiques d'une surface réglée gauche

— Snr une surface réglée gauche, une des directions asymptoti ques AD , en chaque point A , est la génératrice AG passant par ce point : l'autre direction asymptotique AD', en A, est alors nécessairement réelle. L'un des systèmes de lignes asymptotiques est donc formé par les génératrices rectiligncs, car, en chaque point A d'une génératrice rectilîgne AG, la tangente AD à la génératrice est une direction i-i^. uii.

asymptotique [fif^. 161),

L'autre système est formé par les courbes, admettant pour tangentes les droites telles que AD', qui donnent, en chaque point, la deuxième direction asymptotique.

[•EXEMPLE. — Soit la surface réglée

appelée hélicoïde gauche à plandirecleiir. Cette surface est engendrée de la façon suivante. Considérons un cylindre de révolution autour de Or : sur ce cylindre, une hélice, de pas h = 2tt/i, partant du point A de Ox {fig. 88); puis, prenons une droite mobile N'M, s'appuyant sur l'axe 0;, sur l'hélice, et restant parallèle au plan des xy\ cette droite décrit l'hélîcoïde en question. On a, actuellement,

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D-AÎVALrSE

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es asyiiiptotiques est

donc ici

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trouve

(Ix ..;

(|iii clomienl les projections horizontales des dei lignes asympto tiques. La prei équation, qu'on peut écrire :

du (/.<- >/ ~~ X

log,,/==log.r + log(:, (G, // = (:.,-,

Cette équation représente des droites passant par l'origine : ce sont les projections du premier système de lignes asymptotiques, formé par les génératrices rectilignes de la surface, N'M.

La deuxième valeur do - ■ conduit îi uue équation qu'on peut

a désignant une constante arbitiaire.

Les lignes a synipto tiques du deuxième système ont donc pour projections horizontales des cercles de centre 0- Sur la surface^ ce sont des hélices, de pas h^^'i.'Kk, tracées sur des cylindres de révolution autour de 0;. L'une de ces lignes est l'hélice directrice elle-même.

On peut remarquer que, dans cet exemple, les deux systèmes

LIGNES ASYMPTOTIQUES \\)i

c!e lignes asyniptotiques se coupent à angle droit, en chaque point de la surface, au point M, par exemple. En chaque point, les directions asymplotiqnes sont donc rectangulaires ; l'indicatrice est formée de deux hyperboles écjuilatferes conjuguées, et la courbure moyenne est nulle. La surface considérée est donc une surface d'étendue minimum.

296. Lignes asymptotiqaes d'une surface développabJe. — Comme, en tout point d'une surface développable,;-ï-^s^ est nui, les deux directions asymplotiques en tout point sont confbruh'es. Les deux systèmes de lignes asymptotiques se confondent on un seul qui est formé paj- les génératrices rectilignes.

29T- Théorème. Pour qu'une ligne xoil une ligne asymploliijiie d'une surface, i/ faut et il suffi/ qiien chacun de ses points, son plan osculafcur soi/ langent ù la surface.

En effet, imaginons d'abord une ligne quelconque tracée sur une surface. Le long de cette ligne, x,y, z sont des fonctions d'un paramètre /. vérifiant îdeiitiqueiiioiit ré([uatliin

de la surface et toutes celles qu'on en déduit par différentiation . Une première dilï'érentiation donne, avec les notations précé-

Une nouvelle dilférentiation donne

(6) f/'j =^p(Pj:: + qd-f/ -\- dpdx -\- dpdij . En général, pour qu'un plan

soit osculateur à une courbe, il faut et il sulFit (N^lCi) que l'on ait les deux conditions

(7) Ux +B,/i/ -+-Grf: =0, i\d\r + X!,dh,^ai'z = 0.

yGoosle

.'',(•■1 coins D'AXÂtrSE

Acl.ucllement, nous vouions chercher ce que doit Cire hi couihe poui- que le pliiu liingent ii h\ surface

-,j(X-i)-,{Y-,,) + 7.-5 = ll.

lui soit osculateur. Les condiLlons (7) que doit remplir la courlic cherchée deviennent alors

(Iz—pdj- —qdt, =:0, ^' cr-z—p(r-x — qd'tj=0;

en les rapprochant des rehitiona (5) et (6), qui ont lieu pour une courbe quelconque, on voit que h\ courbe cherchée doit vérifier la condition

dpd:e-i-dqdi/^0.

C'est donc une ligne asymptotique.

Par exemple, si on considère la surface réglée S, engendrée par les normales principales MX' d'une courbe gauche, cette courbe gauche est une ligne asymptotiqne de la surface S, car son plan osculateur, en un point M, est évidemment tangent i» la surface, en ce point, comme contenant la tangente à la courbe, en M, et la génératrice MN'.