III. - LIGNES DE MIVEAU ET LIGNES DE PLUS GRANDE PENTE

298. Définition, — Considérons une surlace quelconque rapportée il trois axes rectangulaires, le plan des xy étant horizontal. On appelle lignes de niveau de la surface les sections de la surface par des plans horizontaux

Ces lignes se projettent en vraie grandeur sur le plan des .rt/ ; si lu surface a pour équation

les projections horizontales des lignes de niveau ont ponr cqna-

LIGNES DE NIVEAU ET LICVES DE PLUS GSA.VDE PEXTE 463

On appelle lignes de plus gramle pente les lignes tracées sur la surface et coupant a angle droit les ligues cle nive;ui.

299- Équation différentielle des lignes de plus grande pente. — Pour établir l'équution Jifiereiitielle cle la projection horizontale des lignes de plus grande pente, appelons p et tj les dérivées partielles du :■ d'nn point de la surface, par rapport à .r et y. Nous savons qu'un déplacement infiniment petit qnelcojuiue d:e, dy, d:- eÛ'ectué sur la surface vérifie la relation

dz^ pdx + qdji .

Par un point M cle la surface, passent une ligue de niveau MX et une ligne de plus gnmde pente MP (fig. :162). Appelons alors

fig.

d^x, d^y, d^z les projections d'un déplacement infiniment petit MSI, effectué sur la ligne de niveau, et dx, dij, d:, celles d'un déplacement infiniment petit JIM', eflectiié sur la ligne de plus grande pente.

On

Mais, nul et o

d^z=pd^x^qd^ij.

a le long de la ligue de niveai

.;est constant, (/,;est:

9) f)d^.r-\-i/dji/.= 0.

D'autre part, les déplaceraenls MM^ et MM' étuzit rectangudxd^.r + di/dj/ + dzd^ ; = 0,

464 COCItS n-A^WLYSE

c'est-à-tUi'e, puisque d^z est nul,

ÈL — ^ ^ O'iiprès la comlitioii (0), on a

ii- 'L

Jonc

Cette équation est l'équation diflerentielle des pi'ojeflions horizontales des lignes de plus grande pente. Si l'équation de la surface est résolue par rapport à ::

les quantités /) ot ij sont immédiatement des i'onctions eonuues de X et //, et il reste alors ii intégrer l'équation (H). Si l'équation de la surface n'est pas résolue et est de la forme

on a, pour déterminer p et (/, les deux rehvtions N" 184)