IV. — LIGNES GÉ0DËS1QUE

301 - Diii'ixiTioN . — On appelle ligne géodésique d'une surface une ligne tracée sur la surface, de telle façon que le plan osculateuv en cliacun de ses points soit normal a la surface. On peut dire aussi que le plan osculateur, en chaque point, contient la normale ii la surface, en ce point ; ou encore que la normale principale si la courbe, en chaque point, est normale ii la surface. On rencontre ces lignes, quand on cherche le chemin le plus court d'un point à lin autre, sur une surface donnée. Ce chemin est nécessairement formé d'un ou de plusieurs arcs de ligues géodésiques.

Pour nous rendre compte de cette propriété, nous emploierons des considérations tirées de lu mécanique. Si on voulait pratiquement déterminer le plus court chemin , entre deux points A et B, sur une surface parfaitement polie S, on tendrait entre les deux points, sur la surface, un fil assez fi» pour que son poids soit négligeable par rapport à sa tension. Il est évident que toute posî-

LIGNES OF.OBESIQVES

tîon d'équilibre stable de ce fil donaeraît ur

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gne joignant ces deux points et plus courte que les lignes infiniment voisines.

Nous allons montrer que cette figure d'équilibre est une ligne géodésique, c'est-à-dire une courbe telle que le plan osculateur, en chacun de ses points M, contienne la normale MN à la surface. En effet, si on considère un élément ds du fil, placé en M, la S3ule force extérieure, agissant sur cet élément, est la réaction F de la surface, réaction dirigée suivant la normale MX {fig. 163], car la surface est supposée parfaitement polie. Or, on démontre, en mécanique que, si un fil est en équilibre, la résultante F des forces extérieures, appliquées j» l'élément ds, est située dans le plan osculateur au fil.

Actuellement, la force F étant dirigée suivant la normale MN, cette normale est située dans le plan osculateur, en M, à la courbe d'équilibre. C'est ce que nous voulions démontrer.

Les deux points A et B étant donnés, il peut exister plusieurs positions d'équilibre stable d'un fil tendu sur la surface, entre les deux points. Chacune d'elles donne une ligne réalisant un minimum, pour la distance curviligne entre les deux points sur la surface : ce minimum est relatif, c'est-ii-dlre que chacune des positions d'équilibre stable donne une ligne plus courte que toutes les lignes infiniment voisines tracées sur la surfac points A et B. Si l'on voulait la ligne donnant, si minimum absolu de la distance curviligne des der drait prendre la plus courte de toutes les ligt donnant des minimums relatifs.

Ainsi les chemins les plus courts, entre deux points, sur une surface, sont formés par des lignes géodésiques, joignant les deux points. Mais la réciproque n'est pas exacte : une ligne géodésique, joignant deux points donnés, n'est pas nécessairement plus courte que les courbes infiniment voisines, tracées sur la surface entre ces deux mêmes points.

Imaginons, entre deux points A et B, une ligne géodésique de cette nature, c'est-à-dire une ligne qui n'est pas plus courte que toutes les courbes infiniment voisines tracées sur la surface entre

entre les deux la surface, le points, il fau- !s précédentes

468 COURS D'ANALYSE

les deux points ; cotte ligne est encore une position J'équillbi^ d'un ûl tendu sur la surface entre les deux points, mais cest une posiuon d'équilibre instable : c'est «ne position d'équilibre qui serait irréalisable si la surface était parfaitement polie et qui ne peut être réalisée pliysjquement que grâce au frottement.

302. Lignes gèodésiques daplnn. — On peut dire que les lignes géodésiques du plan sont les droites du plan. En effet, le plus court cliemin d'un point A à un point B, sur un plan, est la droite AB. Cette droite est la position d'équilibre d'un fil tendu sur le plan de A en B.

303- Lignes géodésiques d'une sphère. — Les lignes géodésiques d'une sphère sont les grands cercles de la sphère. En effet, le plan osculateur, en un point quelconque d'un grand cercle, étant le plan de ce grand cercle, ce plan osculateur passe par le centre de la sphère : il contient donc la normale à la splière.

Si l'on prend, sur la sphère, deux points A et B, il existe deux lignes géodésiques joignant ces deux points [fig. 164) ;

l" L'are de grand cercle AîNlB plus petit qu'une demi-cîrconférence ;

2" L'arc de grand cercle APB supérieur n une dcmi-circonfc-

Ces deux arcs réunis formeul un grand cercle complet, t'rcnons-les l'un après l'autre.

L'arc AMB est le plus court chemin, de A en B, sur la splu-re : c'est une position d'équilibre stable, pour un fil tendu sur la sphère, entre les deux points.

L'arc APB, au contraire, n'est pas un mininiiim rolalif pour la distance entre les deux points A et B sur la sphère , car il est possible de trouver, d,; A en B, un chemin infiniment voisin et plus court, comme celui qui est figuré en pointillé. Cet are APB serait encore une position d'équilibre d'un fil tendu sur la splière entre les deux poinls A et B ; mais ce serait une position d'équilibre instable, car, pour peu qu'on écarte le fil de cette position. il glisse sur la sphère et se détend.

LIGNES GÉODÉSiqUES 469

304- Lignes géodésiquea d'un cylindre. — Les lignes géoJé- 8K[ucs d'un cylindre sont les hélices tracées sur ce cylindre, Nous avons vu, en effet, que le plan osculnteur à une hélice «[uelconque contient la normale nu cylindre.

Nous pouvons vérifier ce résultat d'une autre façon : Soient deux points A et B sur la surface : imaginons une ligne plus courte ({ue les lignes infiniment voisines tracée sur le cylindre de A en B. Si l'on développe le cylindre sur un plan, comme les longueurs des courbes tracées sur le cylindre ne changent pas, la ligne considérée deviendra la ligne la plus courte entre deux

points d'un plan, c'est-à-dire une ligne droile. La ligue considérée sur le cylindre est donc un arc d'hélice. Cette ligne est la figure d'équilibre stable d'un fil tendu sur le cylindre entre les deux points.

Supposons que le cylindre ait pour section droite une courbe Fermée, comme un cylindre de révolution. Alors, par deux points donnés A et B de la surface, il passe une infinité de lignes gêodésiques qui donnent chaeune un minimum relatif pour la distance curviligne des deux points sur la surface.

En eflTet, représentons-nous la surface du cylindre comme un rouleau de papier d'une longueur indéfinie, l'épaisseur du papier étant infiniment petite. Supposons, en outre, que les points A etB soient marqués sur toutes les feuilles superposées du rouleau ; c'est ce qu'on réaliserait, par exemple, en perçant, avec une épingle, tontes ces feuilles supcTposécs aux points A et B. Alors,

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cil clcroiiliuit ce rouleau de papier sur un plan, on oblieiulrait une bande de papier portant des points A,, B,, Aj, Bj,..., A„, B„, ..., {fig. 165), en nombre indéfini, provenant tous des traces des deux points A et B ; en enroulant de nouveau le papier, tous les points A,, Aj, ..., Agiraient se placer sur A, tous les points B,, Bj,..., B,; sur B. La droite A|B, donnera, après l'enroulement, un arc d'hélice joignant les deux points A et B, et cet arc sera plus court que tout arc de courbe infiniment voisin tracé entre AetB, sur le cylindre, puisqu'il se développe suivant une droite. De même les droites A|Bj, AjBj,..., B, Aj, B|Aj donnent, après l'enroulement, des arcs d'hélice joignant les deux points, chacun de ces arcs étant plus court que toute courbe infiniment voisine entre A et

On arriverait à ce même résultat avec des fils tendus sur le cylindre, entre les deux points. En effet, on pourrait tendre di tement un fil sur le cylindre entre les deux points A et B, suivant AMB ou APB, en le faisant tourner devant ou derrière ; mais ot pourrait aussi tendre des fils entre A etB, après les avoir enrou lés sur le cylindre une, deux,..., n fois, dans un sens ou dans

305- Lignes géodésiques des surfaces développables. — Dans le développement d'une surface développablc sur un plan, les lignes les plus courtes de la surface doivent devenir les lignes les plus courtes du plan, c'est-à-dire des droites.

Ainsi, les lignes géodésiques d'une surface développablc sont les lignes de la surface qui, dans le développement, deviennent des droites.

306- Déformation d'une surface : Iss lignes géodésiques se conservent. — Soit une surface S quelconque : regardons cette surlace comme une pièce d'étoffe parfaitement flexible, mais inextensible. Si l'on déforme cette étoffe, la surface change déforme; mais les lignes géodésiques se conservent. Si on a tracé sur la surface S une ligne géodésique, cette ligne est encore ligne géodésique de toutes les surfaces obtenues en déformant l'étoffe. Cela tient à ce que, l'étoffe étant inextensible, la longueur des lignes qu'on y trace reste invariable, et, par suite, les lignes les plus courtes restent les plus courtes.

LIG.XES GÈODÉSIQUES Î71

iarc[uer aussi que, dans cette défonnation, l'aiiffle ;oupeiit deux lignes liacces surla surface ne chuuge

30T- Courbure géodésique d'une ligne quelconque tracée sur une surface S. — Comme, sur une surface S, les lignes géodésîques jouent le mt^nie rôle que les lignes droites sur un pliiu, on est conduit, par analogie avec l'expression de la courbure d'une courbe plane trouvée au n° 225, il la notion de courbure géodésique.

Considérons une ligne quelconque L tracée sur une surface S; menons la ligne géodésique M^' [fig. 166) tangente h cette ligne L, en un point M, et, d'un point infiniment voisin M', pris sur L, abaissons la ligne géodésique M'P perpendiculaire à M^f. On appelle rayon de vourhiii-f géodésique de la courbe au point M la limite vers laquelle tend

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