MP
le rayon de courbure géodésiqi a donc, par définition,
3 de la ligne L,
En appelant H,,
La .
; géodésique est
Le
I de courbm
désjque, ainsi défini, né change pas quand on déforme la sur comme une pièce d'étoffe flexible et inextensible, car, les Kg géodésîques se conservant, les longueurs des arcs MI* cl. " restent invariables, ainsi que l'angle M'PM.
308. Expression du rayon de courbure géodésique. •— peut démontrer le théorème suivant que nous admettrons, rai/on de courbure géodésique d'une ligne tracée sur une i face S, en un point M, esl égal au rat/on de courbure, en ce mi point, de la projection de cette ligne sur le plan langent à la s face en M.
goo- ■face.
4l-i COURS D'ANALYSr
i'.G tlicorème conduit à une expression simple du rayon df courbure géodésique. Soit p le rayon de courbure, en M, d'une ligne L tracée sur S ; MN' la normale principale à cette ligne et % l'angle qu'elle fait avec le plan tangent à S en M. Si on projette la ligne L sur ce plan tangent, le rayon de conrSiuro de la projection est (n" 283) — ' — r- ■ On a donc :
Telle est l'expression du rayon de courbure géodésique. Quand on déforme la surface regardée comme flexible et inextensible, R^ ne change pas ; o et 9 varient, mais ■ ■-;- est invariable.
Application. — Soit une ligne 1,, tracée snv une surface développable. Appelons p son rayon de courbure, en un point M, et 0 l'angle du plan oscillateur à la ligue, en ce point, avec le plan tangent à la surface au même point.
Si on développe la surface sur un plan, lu ligne L devient plane et son rayon de courbure, en "Si, prend une valeur p'. Le rayon de courbure géodésique n'a pas eîiangé. Avant le développement.
car la courbe est tracée sur un plan.
On a doue
Points d'inflexion du développement. — ■ Les points d'inflexion du développement sont les points où p' est infini, c'est-à-dire ; 1" les points oii le plan oscnlateur de ia ligne L est normal ii la
surface développable (9 = -y I ; 2" les points où la ligne L a un
rayon de courbure infini {p = co ).
TlIKOHÈME DF.S TAyCESTKS COKJUGUKF.S
V. — DIRECTIONS CONJUGUÉES —RÉSEAUX CONJUOUÉS, THÉORÈME DES TANGENTES GONJUGDÉES
309- Directions conjuguées. — SiiienLunc surface quelcoiitnie S, .V lin point suc cette siirfiice. On dit qun deux droites AB et AB', possant par A, sont des directions conjuguées, quand elles sont situées dans le plan tangent, en A, et forment un système de deux diamètres conjugués de l'indicatrice, relative au point A. l'ar exemple, les directions principales, en un point A d'une surface, sont conjuguées, car elles coïncident avec les axes de l'indicatrice.
310. Réseaux conjugués. — Imaginons, sur une surface, deux familles de courbes telles que, par chaque point A de la surface, îl passe une courbe de chaque famille et que les tangentes menées ii ces deiix courbes, au point A, aient des directions conjuguées. On dit que ces deux familles de courbes forment un rjseau conjugué . Par exemple, \ff. lignes de courbure forment un réseau conjugué,
3H. Théorème des tangentes conjuguées. — Soit une courbe quelconque (C), tracée s tangent P à la surface, en un point quelconque A de cette courbe (C); quand le point A décrit la courbe (C), le plan tangent P enveloppe une surface développable, qu'on appelle \a dèveloppablc circonxcrite à la surface le long de {CJ .
Le plan P touche cette développable suivant une génératrice rectiligne AG passant par le point A {fig. 167) : cette génératrice, qui est la caractéristique duplanmobile,est l'intersection du plan tangent àlasurface, en A, et du plan tangent au point A' de (C), infiniment voisin de A, On peut alors énoncer le théorème suivant, qui est constamment employé dans la théorie des lignes d'ombre.
nées
174 COURS D'ANALYSE
La direction AG de la génératrice de contact est conjuguée de la direction AT de la tangente à la courbe (C).
Pour le démontrer remarquons que, le long de (C), les coordoni/,z d'un point A sont des fonctions d'un paramètre >., qui vciiin;iil itlentiqucmcnt l'équation de la surface tlonnée
Le plan tangent P, à la snrl'acc, au point A [x, y, :), a pour équation (P) Z-^-,.(X-,r)-,(Y-;,)0,
OÙ jt> et y sont lonctions de )i, par l'intermédiaire de :c et tf. L'équalîon du plan P dépend donc d'un paramètre ), : ce plan enveloppe, quand X varie, c'est-à-dire quand le point Adécrit (C), une surface développable (n° 209). Pour avoir la droite AG, suivant laquelle ce plan touche son enveloppe, c'est-à-dire la caractéristique du plan P, il suffit d'associer à l'équation (P) celle qu'on en déduit en la diiTérentiant par rapport à î..
On a ainsi, puisque x, y, ', p, q dépendent de X :
Or, z,p et q dépendent de X, par rintcrmédialre de j: et y ; on a donc, comme plus haut (n" 285) :
in: = i'iix^''-7!:-
dp d.e dy
dq dx dy
^entalors, en réduisant et
multipliant pa
(R)- Çf.—x)[rdx-\-sdy)^^~y){sdx + ldij)^(i,
équation d'un plan passant par le point A [x, y, s). La caractéristique du plan P, définie par les équations (P) et (R), est donc une droite AG, passant par A. 11 reste à montrer que cette droite AG est conjuguée de AT.
TlIÉORFilE DES TAi\GENTES CONJUGUEES /i;j
Les cosinus ilirecLours de lu tangente AT u la courbe (C), lieu (lu point :c, y, j, sont proportionnels ii dx, dy,dz. Prenons le point A pour origine, pour axe des z la normale, pour axes des j: et des y les directions principales, en A. Alors x, y, -■, p, q, s s'annulent; r el ( prennent des valeurs /■„ et ^„. L'équation du plan tangent P devient
celle du plan U devient
Lii droite AG est alors définie par celte dernière équation, puisqu'elle est dans le plan des xy, Z= 0, La tangente AT est également dans le plan des xy et a pour coellicient angulaire
ll.V '
L'équation de la droite AG peut tlouo s'éerive
C'est bicu
le dian
lètre coujuguc de AT, par
rapport II 1'
trice
Ou sait, ei
1 effet,
que le diaiuètre eoujugué Y = »iX,
de la droite
par rapport ; est
unique
