II. — APPLICATION. — ÉVALUATION DE QUELQUES AIHES

26- Segment d'hyperbole équilatère compris entre l'hyperbole et son asymptote. — Soil, l'hypei'liole écjuiliitère lapporti'O à ses asymptotes,

ciilculons l'aire A comprise entre une ordonnée fixe M^ P^ d'abs-

cisse positive rt, et une ordonnée variable MP d'abscisse x. On a trouvé en général

rfA=,rf,r.

Comme, adiiellement, y ^ — ,

foxrrio.xs puimitives. i.\'rEGiiA/.i:.s lyoEr/MEs

On détermine la eoiistaiito en remarquiint que l'aire s'annnd' quand X est égal à ti ; on a donc

0 = log « + C, C = — log '/.

Donc eniin

A = log ,r — log a = !og— .

Si on siipposo a^ 1, on a, on particulier, A= log^c.

On a donc ainsi une représentation graphique simple du logarithme népérien, qu'on appelle pour cotte raison logarithme hyperbolique.

Quand le point P s'éloigne, j: augmente, l'aire A augmente, et quand x augmente indéfiniment, A devient infinie.

Dans d'autres cas, l'aire comprise entre une courbe et une asymptote peut être finie; c'est ce qu'on verra dans l'exemple

2T. Courbe ^ = -^,. -— Cette courbe a, dans l'unglo ^O.i-, la même forme générale que l'hyperbole précédente [fig. 9) ; elle se rapproche plus rapidement de 0^. L'aire A du segment P„M„MP a pour difFérenliellc

Kn intégrant, ■

IVxpressioLi (!« l'iiire clev;iiit s'aniuiler pour x^a, on a (;^^d'où

i-i COURS D'ÂSALrSE

Quand x croît indéfiniment, l'aire du segment tend ■ la limite — ; Taire comprise entre M^ P,^, la courbe et Tasy tote O^ est donc finie.

n segment parabolique. — I" Soit d'abord