COUR.'! D

Cette expression est nue ditFéreiitielle totale exacte, car la lérivpc du eoerfieient de tl.v, par rapport ;\ y,

est égale à la dérivée dn coefficient de dy, par rapport à x. L'intégi'ale de cette difféi'eiitîelle totale est alors

H =£ (2 x^ + 2 x,i + y^) d.e + Ç {.r.i + 2 ,r„,y -+- 3 ?/] dy + C

La première intégrale, dans laquelle y est traité comme nue constante, est

Remplaçant et simpliPiaiiî, oi

oii K est une constante. On vérifiera, sans peine, qne l'e^pic proposée est égale à ihi.

ni. - INTÉGRATION LE LON& D'UNE CÛUBBE PLANE

319. Di;i.-i^rno>-. ~ Soit, dans nn plan xQy, nne courbe C [fig. 168) ; prenons, sur cette courbe, deux points JI„ et M, de coordonnées x^, y^ et x-,y. Considérons, d'autre part, une expression de la forme

f{x,y)dx-\--s{x,y)dy,

où /"et s sont deux fonctions données de x et y. IXoiis allons définir ce qu'il faut entendre par intégrale de f{x,y) ds-\~-f{x,y) dy prise le long de la courbe C de ]M„ en M.

Divisons l'arc M„M en « parties par des points intermédiaires

I^TEGRÀTIoy !.E !.Oi\G B' V N E COURBE PLANE -V

Mi,Mj, , . ., M,i,, ayant pour cordonnées respectives (.r^y,) , {^i,!/i}-- (-^■ji-i ' .'/(.-i) ' et considérons la somme ;

H-Z'Ky.X*. -■«,)+?(»,.?■) (s.—!/,) +/'(^,.y,)(«. -■«.)+?(»'..»,) (y.-»,)

+ /'(»-.,S.-.)(i'-i',-,)- Si l'on fait croître 7( iiiilôfiuiii

int,, dételle fanon que toutes !(

(listunces i\IyM^,!\t,M^,..., ^l„iM tendent, vers zéro, cette s< tend vers une limite qui est, par définition, Yintégrale de

f{x,y)dx+-^{:r,y)d!j,

prise, de M^ en M, le long de la courbe C. On désigne cette intégrale par la notation