Condition pour qu'une intégrale

dépende seulement du point de départ M„ et du point d'arrivée 'M, et non du cliemin suivi. — V.n général, une intégrale

prise de M„ en M, ie long d'une courbe C, ctiange de vitloiu' quand, laissant fixes les points de départ et d'arrivée, on l'ait varier la courbe C, c'est-à-dire le chemin d'intégration. Ainsi rîntéffrale

prise le long d'une courbe C représente l'aire du secteur OM,, CM {fig. 169)- Si on prend la même intégrale, le long d'une autre courbe C, joignant les deux points, elle prend une autre valeur, égale à l'aire du secteur OM„C'M,

Mais il peut arriver qu'une intégrale telle que (3) dépende seulement du point de départ M^ et du point d'arrivée M, sans dépendre du chemin suivi C. Prenons, par exemple, l'intégrale

Xi. (^''^'j+i''^-'''}

prise le long d'une courbe C joignant

les deux points M^ et M. Comme la quantité sous le

tégration est la différentielle totale de ,r//, on peut é

intégrale

492 COUilS D'.i:\ALySE

L'iiitogvale iailpriiiie est donc .rij et l'intégride tléfiiiic, diffél'eiice des valeurs i[ue prend ,17/ lui^ deux points M et M^,, est

On voit f[ue cette intégrale ne dépend que des coordonnées des points Mj et M, et non du choix de la courbe C : elle conserve la même valeur, ([iiand on change la Corme de C entre les deux points.

Nous allons généraliser ce fait en démontrant la proposition suivante :

Théorème. — J'oiir qu'une, intégrale

prise, de il„ en M, le long d'une courhe C, dépende uniquement du point de départ M^ et du point d'arrivée il, et non du chemin suivi, il faut et il suffit que l'expression

soit une difjérentielle totale exacte; cexl-à-dirc que l'on ait

1° La condition

:/ f{x-,y)dx^-={^,y]d,j,

■'(Mû)

prise le long d'une courbe C, joignant les deux points M, et M, de coordonnées ^, j/ et ,r„,y„. Supposons que cette intégrale ne dépende pas du choix de la courbe C, mais seulement du point de départ M^ et du point d'arrivée M. Alors cette intégrale est une fonction de x, y, .r,, y^ : en effet, la valeur de l'intégrale est déterminée, dès qu'on connaît les coordonnées 3:,ij et x^, y^ des deux points M et il^. On peut donc écrire