INTÉGRATION LE LONG D'UNE COURBE PLANE 49'S
Laissons fixe le point M„ et déplaçons infiiiiiiieut peu le point M [fig. 170) en lui l'aisaiit subir un déplacement arbitraire MM', de projections rf^et<:;(/. Alors, le premier membre de l'équation (4) croit de la i|nantité
(5) f{x,,j)dj+,{T,,j)d,i,
r l'intégrale pri
upose
: de M„
l'intégrale i
de
M„ en M, plus l'élément d'intégrale j- ^.^
provenant du déplacement MM', élément qui est précisément l'expression (5). En même temps, le deuxième membre ¥{x,y, ^^,'j„) croit de sa différentielle
ÛF
Ces deuxaccroissemewts sont égaux: ou a donc, idfMiticjiicmcnt, quels que soient-c/.f et t?^,
/■(.î,y)<t+«(.r,j)rf,,=
ay
ce qui montre que /"^/.ï +5 rf;/ est une différentielle totale exacte d'une certaine fonction F de a: et y.
2" La condition est suffisante. — En eflet, supposons que f d.v -\- v dy soit une dlfférenLielle exacte, c'est-à-dire que
«Il àx
f{x, y)di + ,(x,,j)d,j^ dU [x, „) ,
\)[x,y) désignant une certai
! fonction de .r et ij. L'intégrale 1
L'intégrale indéfinie est U, ou, en mettant tes coordonnées en évidence U {x,y) et l'intégrale définie, différence des valeurs de U, aux deux point» SI et 5I„
(i94 COURS D'ANALYSE
L'intégrale a donc alors une valeur indépeiKlaiilo du chemin et dépendant seulement dn choix des points M,, et M, Le théorème est démontré.
323. Exemple tiré de is théorie mécanique de la. chaleur. — Considérons un corps déterminé, par exemple une masse d'air, on d'ea», ou de fer... La densité de ce corps dépend de sa température l et de sa pression p ; par suite, le volume c occupé par l'unité de masse du corps (quantité qu'on appelle volume spécifiqtiè) dépend aussi de ces deux quantités.
Il existe donc, pour chaque sorte de corps, une relation déterminée entre yj,c,; :
(6) F(yj,^,0=O,
qui est la relalion fondamentale du corps.
Par exemple, pour les gaz parlatls obéissant aux lois rie Mariette et de Cay-Lussae, la relalion l'ondanientale est
a désignant le cocifieient de dilatation des gaz, 1
Nous pouvons toujours imaginer qu'on ait résolu l'équation fondamentale d'un corps (6) par rapport à I, de façon il la mettre sous la forme :
D'après cela, l'état d'un corps déterminé dépend de deux variables indépendantes, la pression p et le volume spécifique c ; ï est une fonction déterminée deyj et v.
On peut alors représenter graphiquement l'état du corps par un point M d'un plan, ayant pour coordonnées {fig. 171) OA = f, AM = p,
yGoosle
